Si je comprends bien, la méthode multigrille résout un système linéaire en résolvant une version plus grossière du même problème (en éliminant les erreurs de basse fréquence) puis en se projetant sur la grille fine pour atténuer les erreurs de haute fréquence. Pour les grands systèmes, je peux voir...
Considérons un système linéaire tridiagonal défini symétrique positif où et . Étant donné trois indices , si nous supposons uniquement des lignes d'équation strictement entre et tenir, nous pouvons éliminer les variables intermédiaires pour obtenir une équation de la forme où . Cette équation relie...
J'ai un système linéaire inhomogène A x = bUNEX=b Ax=b où UNEUNEA est une matrice n × nn×nn\times n réelle avec n ≤ 4n≤4n\leq 4 . L'espace nul de UNEUNEA est garanti d'être de dimension nulle, l'équation a donc un inverse unique x = A- 1bX=UNE-1bx=A^{-1} b . Puisque le résultat entre dans le côté...
Supposons que soit une matrice symétrique réelle et que sa décomposition en valeurs propres V Λ V T soit donnée. Il est facile de voir ce qui se passe avec les valeurs propres de la somme A + c I où c est une constante scalaire (voir cette question ). Peut-on tirer une conclusion dans le cas...
En science informatique, nous rencontrons souvent de grands systèmes linéaires que nous devons résoudre par des moyens (efficaces), par exemple par des méthodes directes ou itératives. Si nous nous concentrons sur ces derniers, comment pouvons-nous établir qu'une méthode itérative pour résoudre un...
Existe-t-il un moyen plus rapide de calculer les erreurs standard pour les problèmes de régression linéaire qu'en inversant ? Ici, je suppose que nous avons une régression:X′XX′XX'X y=Xβ+ε,y=Xβ+ε,y=X\beta+\varepsilon, où est n × k matrice et y est n × 1 vecteur.XXXn×kn×kn\times kyyyn×1n×1n\times 1...
J'ai une liste LL{\cal L} de matrices symétriques dont j'ai besoin pour vérifier la semi-définition positive (c'est-à-dire que leurs valeurs propres ne sont pas négatives.) Le commentaire ci-dessus implique que l'on pourrait le faire en calculant les valeurs propres respectives et en vérifiant si...
On me donne une matrice symétrique, inversible, définie positive et dense. Je dois tester si où J est la matrice des uns.12×1212×1212 \times 12QQQJdet(Q)=det(12I−Q−J)(1)det(Q)=det(12I−Q−J)(1)\det(Q) = \det(12I-Q-J) \; \; (1)JJJ Je fais actuellement cela avec la bibliothèque de tatou mais cela...
Étant donné un ensemble arbitraire de matrices complexes (numériques) carrées , je suis intéressé par le calcul de l'algèbre de Lie à matrice réelle générée par , appelez-la \ mathcal {L_ \ mathcal {A}} . Autrement dit, je voudrais une base pour \ mathcal {L_ \ mathcal {A}} = \ mathbb {span_R} \...
Je fais une diagonalisation Lanczos d'une grande matrice clairsemée (~ 2 millions d'éléments). Presque toutes les étapes de l'algorithme de Lanzcos sont effectuées en parallèle sur le GPU, à l'exception de la diagonalisation de la matrice de Lanczos pour vérifier la convergence. Pour cela, j'ai...
En supposant que l'on souhaite étudier en profondeur l'algèbre linéaire numérique (et suivre des revues d'algèbre numérique linéaire et de théorie des matrices), ce qui serait un meilleur cours / un meilleur livre à aborder dans un premier temps: Avec Hoffman et Kunze avec des preuves et de la...
Supposons que la matrice suivante est donnée [ 0,500 - 0,333 - 0,167 - 0,500 0,667 - 0,167 - 0,500 - 0,333 0,833 ] avec sa transposée A T . Le produit A T A = G donne [ 0,750 - 0,334 - 0,417 - 0,334 0,667 - 0,333 - 0,417 - 0,333 0,750 ]
Existe-t-il un algorithme SVD tronqué qui calcule les valeurs singulières une par une? Mon problème: je voudrais calculer les premières valeurs singulières (et vecteurs singuliers) d'une grande matrice dense M , mais je ne sais pas ce que serait une valeur appropriée de k . M est grand, donc pour...
Quelqu'un pourrait-il recommander une méthode pour le problème des moindres carrés suivant: trouver qui minimise: , où R est unitaire (rotation) matrice.R∈R3×3R∈R3×3R \in \mathbb{R}^{3 \times 3}∑i=0N(Rxi−bi)2→min∑i=0N(Rxi−bi)2→min\sum\limits_{i=0}^N (Rx_i - b_i)^2 \rightarrow \minRRR Je pourrais...
Supposons que A soit une matrice générale clairsemée et que je souhaite calculer les valeurs propres. Je ne sais pas comment détecter la multiplicité des valeurs propres. Pour autant que je sache, pour un cas particulier, trouver les racines polynomiales par la méthode de la matrice compagnon, nous...
Étant donné le système où , j'ai lu que, dans le cas où l'itération Jacobi est utilisée comme solveur, la méthode ne convergera pas si a un non-zéro composant dans l'espace nul de . Alors, comment pourrait-on déclarer formellement que, à condition que ait une composante non nulle couvrant l'espace...
Supposons que A∈Rn×nA∈Rn×nA\in\mathbb{R}^{n\times n} est une matrice définie symétrique positive. AAA est suffisamment grand pour qu'il soit coûteux de résoudre directement .Ax=bAx=bAx=b Existe-t-il un algorithme itératif pour trouver la plus petite valeur propre de qui n'implique pas l'inversion...
Le produit intérieur complexe a deux définitions différentes décidées par des conventions: ou . Dans BLAS, j'ai trouvé les routines cdotu, zdotu et cdotc, zdotc. Les deux anciennes routines calculent en fait (un faux produit intérieur!) Et les deux dernières routines conjuguent le premier vecteur...
nVidia, par exemple, a CUBLAS, qui promet une accélération de 7 à 14 fois. Naïvement, cela est loin du débit théorique de l'une des cartes GPU de nVidia. Quels sont les défis liés à l'accélération de l'algèbre linéaire sur les GPU, et existe-t-il déjà des routages d'algèbre linéaire plus...
J'essaie de diagonaliser des matrices denses et mal conditionnées. En précision machine, les résultats sont inexacts (renvoyant des valeurs propres négatives, les vecteurs propres n'ont pas les symétries attendues). Je suis passé à la fonction Eigensystem [] de Mathematica pour profiter d'une...