Plus petite valeur propre sans inverse

Supposons que $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ est une matrice définie symétrique positive. $A$ est suffisamment grand pour qu'il soit coûteux de résoudre directement .$Ax=b$

Existe-t-il un algorithme itératif pour trouver la plus petite valeur propre de qui n'implique pas l'inversion de à chaque itération?$A$$A$

Autrement dit, je devrais utiliser un algorithme itératif comme les gradients conjugués pour résoudre , donc l'application répétée de A - 1 semble être une «boucle interne» coûteuse. Je n'ai besoin que d'un seul vecteur propre.$Ax=b$$A^{-1}$

Merci!

1. Calculez la valeur propre de plus grande amplitude de A (avec, disons ).$\lambda_{max}$$A$eigs('lm')

2. Calculer alors la plus grande amplitude (négative) de valeurs propres λ m un x de M = A - λ m a x I (encore une fois, par un appel à la norme ).$\hat{\lambda}_{max}$$M = A - \lambda_{max}I$eigs('lm')

3. Observer que λ m a x + λ max = λ m i n ( A ) . La raison pour laquelle cela tient est expliquée ici .$\hat{\lambda}_{max} + \lambda_{\max} = \lambda_{min}(A)$

4. Trouvez votre vecteur propre en résolvant ( A - λ m i n I ) v = 0 .$v$$(A - \lambda_{min} I) v = 0$