Comment puis-je calculer la base d'une algèbre de Lie matricielle avec un ensemble fini de générateurs?

Étant donné un ensemble arbitraire de matrices complexes (numériques) carrées , je suis intéressé par le calcul de l'algèbre de Lie à matrice réelle générée par , appelez-la . Autrement dit, je voudrais une base pour où est défini récursivement comme , et pour . $\mathcal{A}=\{A_1,A_2,\cdots,A_m\}$ $\mathcal{A}$ $\mathcal{L_\mathcal{A}}$

L_{A} = s p a n_{R} {B : B \in \cup_{k = 1}^{\infty} C_{k}}

$\mathcal{L_\mathcal{A}} = \mathbb{span_R}\{B:B\in\cup_{k=1}^{\infty}\mathcal{C}_k\}$

C_{k}

$\mathcal{C}_k$

C_{1} = A

$\mathcal{C_1}=\mathcal{A}$

C_{k + 1} = {[X, Y] : X, Y \in \cup_{j = 1}^{k} C_{j}}

$\mathcal{C_{k+1}}=\{[X,Y]:X,Y\in\cup_{j=1}^k\mathcal{C_j}\}$

k \geq 1

$k\geq 1$

Ce calcul revient à la théorie du contrôle (quantique).

Actuellement, j'utilise une méthode trouvée ici qui recherche uniquement à travers les crochets de Lie répétés (c'est-à-dire ceux de la forme $[A_{j_1},[A_{j_2},[A_{j_3},\cdots[A_{j_{n-1}},A_{j_n}]\cdots]]]$ ), et est garanti de se terminer. Cependant, je suis intéressé de savoir s'il existe d'autres méthodes (plus rapides). Peut-être en utilisant des bases P. Hall? Peut-être un algorithme récursif? Ma langue par défaut en ce moment est Matlab.

linear-algebra matlab basis-set Ian Hincks
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Je suppose que vos générateurs d'origine sont hermitiens. Est-ce vrai? Si c'est le cas, j'imagine que la première étape serait de comparer les espaces propres des générateurs, car les commutateurs ne sont différents de zéro que lorsque les espaces propres diffèrent.

Jack Poulson

@JackPoulson Oui, les A viennent des Hamiltoniens, et sont donc asymétriques-hermitiens (pas hermitiens car ils sont multipliés par les i dans l'équation de Schroedinger). Je ne suis pas sûr de comprendre pourquoi ce serait une bonne première étape. Le calcul des commutateurs et la vérification pour voir s'ils sont non nuls ne seraient-ils pas plus rapides que de jouer avec les espaces propres?

Ian Hincks

Pour un seul niveau de commutateurs, probablement oui. Mais il y a une explosion combinatoire lorsque vous commencez à considérer plusieurs niveaux de commutateurs. Je ne connais pas d'algorithme, mais c'est généralement une bonne idée d'exploiter autant de structure que possible. Je voudrais bien réfléchir à savoir si vous connaissiez d'autres propriétés qui concernent également vos générateurs.

Jack Poulson du

Réponses:

Ce lien décrit comment procéder à l'aide des bases P. Hall.

Sur une note quelque peu reliée, si je l'implémentais, je m'inquiéterais de l'instabilité numérique du test de la dépendance linéaire. Assurez-vous d'utiliser une méthode pour tester l'indépendance des nouvelles matrices qui permet une inexactitude numérique - peut-être en comparant la norme de à la norme de , où est la projection sur l'espace des matrices que vous avez trouvées auparavant . $A - p(A)$ $A$ $p$

Erik P.
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@EricP Merci pour le lien, très utile. Je n'avais vu que les bases de P. Hall dans le contexte des algèbres de Lie libres, dont je n'ai pas une bonne compréhension, et je suis heureux de savoir que mon intuition de se débarrasser des commutations linéairement dépendantes était correcte. La précision numérique m'inquiète beaucoup. Voulez-vous dire que je devrais comparer plutôt la norme de p (A) à la norme de A? Et que ce serait plus stable que de comparer la norme de Ap (A) à 0?

Ian Hincks

@IanHincks: Ce que je voulais dire, c'était comparer à , mais cela n'était pas basé sur des pensées particulièrement profondes. Vous devrez expérimenter. Le meilleur critère numérique peut être de visualiser toutes les matrices sous forme de vecteurs et de faire une SVD clairsemée de la matrice rectangulaire obtenue en les plaçant les unes à côté des autres, puis en les jetant le "vecteur" ajouté en dernier si la plus petite valeur singulière est très petite. Mais ce sera très coûteux en calcul. Vérifiez d'abord si vous en avez vraiment besoin - et si oui, faites d'abord un test bon marché.

‖ A - p (A) ‖

$\Vert A - p(A) \Vert$

‖ A ‖

$\Vert A \Vert$

R^{n^{2}}

$\mathbb{R}^{n^2}$

n^{2} \times k

$n^2 \times k$

Erik P.