Lorsque nous utilisons des polynômes de Bernstein en application

Lorsqu'il est préférable d'utiliser des polynômes de Bernstein pour approximer une fonction continue au lieu d'utiliser les seules méthodes d'analyse numérique préliminaires suivantes: "Polynômes de Lagrange", "Opérateurs de différences finies simples".

La question est de comparer ces méthodes.

Les polynômes de Bernstein et les polynômes de Lagrange couvrent tous deux les mêmes espaces. Donc, en termes de fonctions possibles que l'on peut représenter, utiliser l'une ou l'autre ne fait aucune différence. Cependant, si vous envisagez d'utiliser ces fonctions de base dans une méthode par éléments finis ou un problème d'interpolation, les propriétés spectrales de l'opérateur linéaire que vous créez dépendront des polynômes que vous choisissez comme base. Cela peut entraîner des différences dans la convergence des solveurs itératifs. Cependant, en l'absence d'erreur d'algèbre linéaire, vous obtiendrez la même réponse en utilisant l'une ou l'autre base.

La comparaison avec les opérateurs de différence finie est une autre histoire. L'utilisation de polynômes vous donnera des approximations d'erreur sur une norme continue. Je ne connais pas aussi bien les différences finies, mais je crois comprendre que vous n'obtiendrez une estimation d'erreur qu'aux emplacements que vous choisissez de discrétiser. Ce qui se passe entre ces points n'est pas aussi clair.

J'utilise des polynômes de Bernstein dans une méthode de collocation pour résoudre des problèmes de valeurs limites pour les ODE et les PDE. Ils sont assez intéressants.

La convergence était exponentielle pour certains BVP linéaires, mais un peu plus lente que la collocation de Chebyshev, Legendre Galerkin et Tau.

Voici la figure comparant les taux de convergence avec certaines méthodes spectrales de Chebyshev. L'exemple de problème est BVP linéaire:

$\frac{d^2u}{dx^2}-4\frac{du}{dx}+4u = e^x +C \;,\; x \in [-1,1]$

avec des BC de Dirichlet homogènes, et C est une constante .$C=-4e/(1+e)^2$

J'ai également téléchargé cette figure sur figshare .

Si vous le souhaitez, vous pouvez consulter le code que j'écris:

http://code.google.com/p/bernstein-poly/

Et voici l' article arxiv que j'ai écrit sur la résolution des BVP elliptiques sur un carré en utilisant la collocation polynomiale de Bernstein.

L'année dernière, ils ont célébré le centenaire des polynômes de Bernstein - un autre fait intéressant.

L'article ci-dessous montre que la représentation de polynômes sous forme de Bernstein conduit à des algorithmes numériquement stables dans de nombreux cas:

RT Farouki, VT Rajan, Sur l'état numérique des polynômes sous forme Bernstein, Conception géométrique assistée par ordinateur , Volume 4, Numéro 3, novembre 1987, Pages 191-216, DOI: 10.1016 / 0167-8396 (87) 90012-4

Les points de contrôle d'une courbe de Bézier sont proches de la courbe, mais pas nécessairement sur la courbe. C'est exactement la même situation que pour l'approximation par les polynômes de Bernstein, et en fait les polynômes de Bernstein sont à la base de la courbe de Bézier. Vous pouvez utiliser une courbe de Bézier d'ordre élevé pour tracer une ligne lisse à travers une courbe donnée par des points bruyants, personne ne le ferait également en raison de l'effort de calcul élevé. En fait, l'interpolation polynomiale d'ordre élevé n'est que rarement utilisée exactement pour cette raison, seule l'interpolation de Chebyshev est parfois une exception à cette règle.

Mais si nous ne parlons que d'interpolation polynomiale d'ordre bas, la spécification intuitive d'une courbe de Bézier via des points de contrôle est un net avantage sur les autres méthodes. Cependant, à cet égard, les NURBS sont encore meilleurs, mais au moins une courbe de Bézier est un cas particulier d'un NURBS, et les polynômes de Bernstein sont également un ingrédient important pour les NURBS.