Explication de base de la fonction de forme

Je viens de commencer à étudier FEM de manière plus structurée par rapport à ce que je faisais pendant mes cours de premier cycle. Je le fais parce que, malgré le fait que je puisse utiliser le "FEM" dans des logiciels commerciaux (et autres non commerciaux), je voudrais vraiment comprendre les techniques souterraines qui soutiennent la méthode. C'est pourquoi je viens ici avec une question fondamentale, au moins pour l'utilisateur expérimenté de la technique.

Maintenant, je lis un livre très populaire (je pense) et "convivial" appelé "Méthode des éléments finis - Les bases" de Zienkwicz. J'ai lu ce livre depuis la première page, mais je ne comprends pas encore le concept de fonction de forme de la manière dont Zienkwicz l'explique.

Ce que je sais des choses que j'avais lues, c'est qu'une matrice de "rigidité", celle qui relie les inconnues au résultat ( dans: A k = $A$$Ak=b$ ), a ses composantes des "relations entre les nœuds" , et si cette «relation» change (c'est-à-dire si nous la changeons en interpolant d'ordre supérieur), cette matrice de rigidité change, car la relation entre les nœuds change.

Mais dans ce livre, la définition est assez floue pour moi, car à un moment donné, il est dit que vous pouvez choisir arbitrairement la fonction comme, c'est-à-dire la matrice d'identité:

La seule explication que j'ai trouvée se trouve dans ce blog , mais ce n'est toujours pas aussi clair pour moi. Donc, quelqu'un peut me donner une explication simple et simple de ce qu'est un functon de forme et de la façon de le "mettre" dans la matrice de rigidité?

J'ai toujours trouvé l'approche de la description des méthodes par éléments finis qui se concentre sur le système linéaire discret et fonctionne en arrière inutilement confuse. Il est beaucoup plus clair d'aller dans l'autre sens, même si cela implique un peu de notation mathématique au début (que j'essaierai de garder au minimum).

$A u = f$$f$$u$$A$$(x,y)$$V$$V$$V$$V_h$$u_h \in V_h$$Au_h = f$$V$$Au_h-f\in V$$V_h$$v_h^T(Au_h-f) = 0$$v_h$$V_h$$u_h$$v_i^TAu_j$$K_{ij}$$v_j^Tf$$A$ est un opérateur différentiel, on effectue généralement l'intégration par parties à un moment donné , mais ce n'est pas important ici.)

$V_h$$V_h$$V_h$$x$$y$$V_h$$\{\psi_j\}$$(0,0)$$(0,1)$$(1,0)$$\psi_j$$1$$0$

$V_h$

Dans l'approche d'ingénierie du FEM en mécanique des structures, comment il est présenté, vous perdez le sentiment de résoudre des équations différentielles partielles .

Ils vous montrent ces matrices, ils attachent une signification physique, et à mon avis cela vous amène à développer une intuition physique douteuse pour le terrain.

Il peut être utile de réfléchir au sujet en termes de géométrie.La solution à un problème de valeur limite pour PDE est une forme. VI Arnol'd a dit une fois en louant les réalisations de Newton dans le domaine, pour paraphraser - il a fait une chose merveilleuse en créant le domaine des équations différentielles en nous permettant de reformuler les problèmes des sciences naturelles en problèmes géométriques de courbes dans le plan et les surfaces dans l'espace.

Dans FEM, vous approximez la solution (dans FD et FVM, vous approximez l'équation gouvernante).

Entrez Boris Gligorievich Galerkin. Qu'a dit BG Galerkin?

Il a déclaré: « Je veux que vous ne puissiez pas faire de résidu avec les mêmes fonctions de base, vous avez utilisé pour créer la solution. "

(PS Cette histoire n'est absolument pas vraie, et j'exhorte mes lecteurs à trouver une meilleure explication de la méthode (Bubnov-) Galerkin, si elle existe.)

Les fonctions de base ou fonctions d'essai sont celles que vous utilisez pour créer la solution. Vous les utilisez pour approximer la forme de la solution.

$Ku=f$

$Ku=f$

La chose la plus importante à savoir sur les "fonctions de forme" est qu'elles décrivent comment les variables dépendantes que vous souhaitez calculer (par exemple le déplacement) varient en fonction des coordonnées spatiales de l'élément (par exemple x et y) en termes de certains paramètres scalaires inconnus.

Les fonctions de forme sont souvent de simples polynômes et les paramètres scalaires sont les valeurs des variables dépendantes aux nœuds des éléments.

La formation des équations d'éléments finis à l'aide de ces fonctions de forme nécessite quelques autres concepts fondamentaux tels que l'établissement d'une "forme faible" de l'équation différentielle partielle que vous essayez de résoudre.

Il y a beaucoup de «mysticisme» inutile associé à la méthode des éléments finis, donc j'encourage votre approche d'essayer d'obtenir une compréhension approfondie des principes fondamentaux.

Ma prise est dans la leçon 4 à http://www.math.tamu.edu/~bangerth/videos.html . En particulier, cela vous donne une idée de la raison pour laquelle nous choisissons les fonctions de chapeau que nous utilisons habituellement lorsque nous utilisons la méthode des éléments finis - à savoir, parce qu'elles conduisent au concept important de rareté, même si de nombreux autres choix de fonctions de base auraient été également valable.

Chaque élément est associé à un modèle de déplacement qui exprime la variation de la variable de champ (variable dépendante) en termes de coefficients généralisés et de variables indépendantes (x, y, z) ex: 1D u (x) = a0 + a1x pour 2 linéaires inclinés élément u (x) = a0 + a1x + a3x ^ 2 pour 3 élément quadratique incliné et ainsi de suite. Ici, ai s sont les coefficients généralisés. Ensuite, nous éliminons ai s et exprimons la variation de la variable de champ en termes de fonctions de forme et de valeurs nodales de la variable de champ. par exemple: u (x) = N1 u1 + N2 u2 La fonction qui relie la variation de la variable de champ à la valeur nodale de la variable de champ est appelée «FONCTION DE FORME». Le nombre de fonctions de forme dépendra du nombre de nœuds et du nombre de variables par nœud. Les fonctions de forme peuvent donc être considérées comme des fonctions, qui dénote la contribution de chaque valeur nodale aux points internes de l'élément. Pour un élément à deux nœuds Au nœud 1, la contribution de N1 est l'unité et celle de N2 est nulle.

Au nœud 2, la contribution de N2 est l'unité et celle de N1 est nulle.

Au milieu de l'élément, les deux nœuds ont un poids ou une influence égale. Ainsi, les fonctions de forme indiquent non seulement comment la variable de champ varie sur l'élément, mais aussi l'influence de chaque valeur nodale de la variable de champ aux points internes de l'élément. Bon apprentissage:)

J'ai également expliqué les fonctions de forme plus en détail ici: http://stochasticandlagrangian.blogspot.lt/2012/02/rayleigh-ritz-method-explained-for.html

Il explique étape par étape de manière visuelle le fonctionnement de la méthode Rayleigh-Ritz. La rédaction de cet article m'a finalement aidé à comprendre les fonctions de forme.

selon ma compréhension .. les fonctions de forme ne sont rien d'autre que la relation entre les variables de champ et les points nodaux.

Supposons que notre terre est mise sous pression avec des charges externes et que notre terre va se fissurer. par méthode analytique, nous utilisons de nombreuses formules et découvrons que dans une partie (comme supposons le continent asiatique) la terre va craquer. En utilisant la méthode FEM, nous divisons la terre en différents pays, états et villes, nous maillons chaque ville et finalement joignons toutes les villes pour former un globe appelé terre. les fonctions de forme sont la clé qui fournit un pont entre les villes maillées pour former un état et un pays et enfin un globe. c'est le lien qui relie le maillage. Une fois cela fait, la charge est appliquée et l'endroit exact peut être trouvé où la fissure commence et qui peut être renforcée.

j'espère que cela vous a aidé.

Selon ce que je comprends des fonctions de forme, c'est qu'il s'agit de connecter les coordonnées nodales géométriques au déplacement de l'élément avec une même fonction de forme.

Prenons un cas 1D. Une barre à 2 nœuds se termine.

Lorsque je connecte cet élément avec ses coordonnées nodales, je peux trouver le déplacement à n'importe quel point de cet élément à l'aide de la fonction d'interpolation.

Donc, fondamentalement, les fonctions de forme sont les approximations que nous faisons afin de trouver la déformation en tout point de l'espace d'une manière louable.

Les fonctions de forme sont les fonctions qui relient le déplacement en tout point de l'élément au déplacement des nœuds de l'élément. Un graphique de la fonction de forme par rapport aux points sur l'élément montre la "forme" déformée de l'élément et donc le nom de la fonction de forme.