Quelles sont les différences conceptuelles entre la méthode des éléments finis et la méthode des volumes finis?

Il existe une différence évidente entre la méthode des différences finies et celle des volumes finis (passage de la définition ponctuelle des équations aux moyennes intégrales sur les cellules). Mais je trouve que FEM et FVM sont très similaires; ils utilisent tous les deux la forme intégrale et la moyenne des cellules.

Quelle est la méthode FEM que la machine virtuelle n'est pas? J'ai lu un peu de contexte sur le FEM. Je comprends que les équations sont écrites sous la forme faible, ce qui donne à la méthode un point de déclaration légèrement différent de celui de la MVF. Cependant, je ne comprends pas sur le plan conceptuel quelles sont les différences. FEM fait-il certaines hypothèses sur la manière dont l'inconnu varie à l'intérieur de la cellule, cela ne peut-il pas aussi être fait avec FVM?

Je viens principalement du point de vue 1D alors peut-être que FEM a des avantages avec plus d'une dimension?

Je n'ai pas trouvé beaucoup d'informations disponibles sur ce sujet sur le net. Wikipedia a une section sur la façon dont le FEM est différent de la méthode de différence finie, mais c'est à ce sujet, http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method#Comparison_to_the_finite_difference_method .

Elément fini: intégrales volumétriques, ordre polynomial interne

Les méthodes classiques par éléments finis supposent des espaces d'approximation continus ou faiblement continus et demandent que les intégrales volumétriques de la forme faible soient satisfaites. L'ordre de précision est augmenté en élevant l'ordre d'approximation au sein des éléments. Les méthodes ne sont pas exactement conservatrices et se heurtent donc souvent à la stabilité des processus discontinus.

Volume fini: intégrales de surface, flux de données discontinues, ordre de reconstruction

Les méthodes de volumes finis utilisent des espaces d'approximation constants par morceaux et demandent que les intégrales par rapport à des fonctions de test constantes par morceaux soient satisfaites. Cela donne des déclarations de conservation exactes. L'intégrale de volume est convertie en une intégrale de surface et toute la physique est spécifiée en termes de flux dans ces intégrales de surface. Pour les problèmes hyperboliques de premier ordre, il s’agit d’une résolution de Riemann. Les flux du deuxième ordre / elliptiques sont plus subtils. L'ordre de précision est augmenté en utilisant des voisins pour reconstruire (de manière conservatrice) les représentations d'ordre supérieur de l'état à l'intérieur des éléments (reconstruction de pente / limitation) ou en reconstruisant des flux (limitation de flux). Le processus de reconstruction est généralement non linéaire pour contrôler les oscillations autour des caractéristiques discontinues de la solution, voir méthodes de réduction de la variation totale (TVD) et essentiellement non oscillatoires (ENO / WENO). Une discrétisation non linéaire est nécessaire pour obtenir simultanément une précision supérieure au premier ordre dans les régions lisses et une variation totale liée à travers les discontinuités, voirLe théorème de Godunov .

commentaires

FE et FV sont faciles à définir avec une précision jusqu’au second ordre sur des grilles non structurées. Il est plus facile pour FE d’aller au-delà du second ordre sur des grilles non structurées. FV gère les maillages non conformes plus facilement et de manière plus robuste.

Combinant FE et FV

Les méthodes peuvent être mariées de plusieurs manières. Les méthodes Galerkin discontinues sont des méthodes d'éléments finis qui utilisent des fonctions de base discontinues, acquérant ainsi des solveurs de Riemann et une plus grande robustesse pour les processus discontinus (en particulier hyperboliques). Les méthodes DG peuvent être utilisées avec des limiteurs non linéaires (généralement avec une réduction de la précision), mais répondent à une inégalité d'entropie au niveau des cellules sans limitation et peuvent donc être utilisées sans limitation pour certains problèmes pour lesquels d'autres schémas nécessitent des limiteurs. (Ceci est particulièrement utile pour l'optimisation à base adjointe car il rend l'adjoint discret plus représentatif des équations adjointes continues.) Les méthodes FE mixtes pour les problèmes elliptiques utilisent des fonctions de base discontinues et peuvent, après quelques choix de quadrature, être réinterprétées comme des méthodes standard à volumes finis , voir cette réponse$P_N P_M$

Les différences conceptuelles entre FEM et FVM sont aussi subtiles que les différences entre un arbre et un pin.

Si vous comparez un certain schéma FEM à la discrétisation FVM appliquée à un problème particulier, vous pouvez parler de différences fondamentales qui deviennent évidentes dans différentes approches de mise en œuvre et différentes propriétés d'approximation (comme l'a expliqué @Jed Brown dans sa réponse).

Mais en général, je dirais que la MVF est un cas particulier de FEM, utilisant une grille de cellules et des fonctions de test constantes par morceaux. Cette relation est également utilisée pour l’analyse de convergence des MVF, comme l’indique l’ouvrage de Grossmann, Roos & Stynes: Traitement numérique des équations aux dérivées partielles .

La différence fondamentale est simplement le sens à attribuer aux résultats. FDM prédit des valeurs en points de tout aspect de la solution. L'interpolation entre ces valeurs est souvent laissée à l'imagination de l'utilisateur. FVM prévoit des moyennes de variables conservées dans des volumes de contrôle spécifiques. Par conséquent, il prédit les variables conservées intégrées et peut converger vers des solutions faibles (discontinues). FEM donne un ensemble de valeurs discrètes à partir desquelles une solution approchée peut être déduite de manière non ambiguë partout en appelant un ensemble de fonctions de base. Habituellement, mais pas nécessairement, les variables impliquées sont conservatrices. Il est possible d'avoir des méthodes de différences finies conservatrices dans un certain sens, selon une règle de quadrature particulière.

Ce sont des questions de définition. Il existe de nombreuses variantes des trois méthodes. Toutes les méthodes ne sont pas d'un type propre et les détails varient d'un domaine d'application à l'autre. Les chercheurs qui inventent une nouvelle méthode utilisent ces outils qui aideront à fournir les propriétés qu’ils recherchent. Comme vous semblez avoir trouvé, il est difficile de trouver une discussion faisant autorité et il me serait difficile d’en fournir une. Le meilleur conseil que je puisse vous donner est de continuer à lire, sans attendre une réponse tout à fait claire, mais en accordant de l'importance aux choses qui vous semblent logiques.