Quels sont les critères de choix entre les différences finies et les éléments finis

Je suis habitué à considérer les différences finies comme un cas particulier d'éléments finis, sur une grille très contrainte. Quelles sont donc les conditions pour choisir entre la méthode des différences finies (FDM) et la méthode des éléments finis (FEM) en tant que méthode numérique?

Du côté de la méthode des différences finies (FDM), on peut considérer qu’elles sont conceptuellement plus simples et plus faciles à mettre en œuvre que la méthode des éléments finis (FEM). Les FEM ont l'avantage d'être très flexibles, par exemple, les grilles peuvent être très non uniformes et les domaines peuvent avoir une forme arbitraire.

Le seul exemple que je connaisse où FDM s'est avéré supérieur au FEM est celui de Celia, Bouloutas, Zarba , où l'avantage est dû à la méthode FD qui utilise une discrétisation différente de la dérivée du temps, qui pourrait toutefois être corrigée pour la méthode des éléments finis. .

Il est possible d’écrire la plupart des méthodes de différences finies spécifiques en tant que méthodes d’éléments finis de Petrov-Galerkin avec un choix de reconstruction locale et de quadrature, et il est également possible de démontrer que la plupart des méthodes d’éléments finis sont équivalentes algébriquement à certaines méthodes de différences finies. Par conséquent, nous devrions choisir une méthode en fonction du cadre d'analyse que nous voulons utiliser, de la terminologie que nous aimons bien, du système d'extensibilité que nous aimons et de la manière dont nous aimerions structurer les logiciels. Les généralisations suivantes sont valables dans la grande majorité des variantes d’utilisation pratique, mais de nombreux points peuvent être contournés.

Différence finie

Avantages

• implémentation efficace sans quadrature
• Indépendance vis à vis du ratio d'aspect et conservation locale pour certains schémas (par exemple, MAC pour un flux incompressible)
• méthodes de transport non linéaires robustes (p. ex. ENO / WENO)
• M-matrice pour certains problèmes
• principe maximum discret pour certains problèmes (par exemple différences finies mimétiques)
• matrice de masse diagonale (généralement d'identité)
• résidu nodal peu coûteux permettant un multigrille non linéaire (FAS) efficace
• Les lisseurs Vanka au niveau des cellules donnent des lissages efficaces sans matrice pour un flux incompressible

Les inconvénients

• plus difficile à mettre en œuvre "physique"
• les grilles décalées sont parfois assez techniques
• plus élevé que le second ordre sur les grilles non structurées est difficile
• pas d'orthogonalité de Galerkin, la convergence peut donc être plus difficile à prouver
• pas une méthode de Galerkin, donc la discrétisation et les jointures ne sont pas permutantes (pertinentes pour l'optimisation et les problèmes inverses)
• les problèmes du continuum auto-adjoint donnent souvent des matrices non symétriques
• la solution est uniquement définie par points, de sorte que la reconstruction à des emplacements arbitraires n'est pas définie de manière unique
• les conditions aux limites ont tendance à être compliquées à mettre en œuvre
• les coefficients discontinus font généralement les méthodes de premier ordre
• le pochoir grandit si la physique inclut des "termes croisés"

Éléments finis

Avantages

• Orthogonalité de Galerkin (la solution discrète aux problèmes coercitifs est dans une constante de la meilleure solution dans l'espace)
• flexibilité géométrique simple
• Galerkin discontinu offre un algorithme de transport robuste, d'ordre arbitraire sur les grilles non structurées
• l'inégalité d'entropie au niveau des cellules garantissant la stabilité de tient indépendamment du maillage, de la dimension, de l'ordre de précision et de la présence de solutions discontinues, sans recourir à des limiteurs non linéaires$L^2$
• facile de mettre en œuvre des conditions aux limites
• peut choisir une déclaration de conservation en choisissant un espace de test
• discrétisation et transferts alternés (pour les méthodes de Galerkin)
• fondement élégant en analyse fonctionnelle
• à un ordre élevé, les noyaux locaux peuvent exploiter la structure du produit tensor manquant avec FD
• La quadrature de lobatto peut rendre les méthodes économes en énergie (en supposant un intégrateur de temps symplectique)
• Précision d'ordre élevé, même avec des coefficients discontinus, tant que vous pouvez vous aligner sur les limites.
• XFEM permet de prendre en charge les coefficients discontinus à l'intérieur des éléments
• facile à gérer plusieurs conditions inf-sup

Les inconvénients

• de nombreux éléments ont des problèmes avec un rapport d'aspect élevé
• FEM continu a des problèmes de transport (SUPG est diffusif et oscillant)
• DG a généralement plus de degrés de liberté pour la même précision (bien que HDG soit bien meilleur)
• FEM continue ne fournit pas de problèmes nodaux bon marché, donc les lisseurs non linéaires ont des constantes bien plus pauvres
• généralement plus de nonzeros dans les matrices assemblées
• avoir à choisir entre une matrice de masse consistante (quelques propriétés intéressantes, mais une inversion complète, nécessitant ainsi une résolution implicite par pas de temps) et une matrice de masse localisée.

Cette question peut être trop large pour avoir une réponse significative. La plupart des personnes qui répondent ne connaîtront qu'un sous-ensemble de tous les types de discrétisations FD et FE pouvant être utilisées. Notez que FD et FE

• peut être implémenté sur des grilles structurées ou non structurées (voir le présent document pour un exemple de méthode FD sur une grille non structurée)
• peut être étendu à un degré de précision arbitraire élevé (à bien des égards!)
• peut être utilisé pour discrétiser dans l’ espace et / ou dans le temps , éventuellement en combinaison
• utiliser des fonctions de base locales ou globales (ces dernières conduisent à des méthodes spectrales de type FD et FE)
• peut être basé sur un espace de fonction continu ou discontinu
• peut être spatialement explicite ou implicite
• peut être explicite ou implicite dans le temps

Vous avez eu l'idée. Bien sûr, dans une discipline particulière, les méthodes FD et FE que les gens implémentent et utilisent couramment peuvent avoir des caractéristiques très différentes. Mais cela n’est généralement pas dû aux limites inhérentes aux deux approches de discrétisation.

Concernant les schémas FD d'ordre arbitrairement élevé: les coefficients des schémas FD d'ordre élevé peuvent être générés automatiquement pour tout ordre; voir le livre de Lévis , par exemple. Les méthodes de collocation spectrale, qui sont des méthodes FD, convergeront plus rapidement que n'importe quelle puissance de l'espacement des mailles; voir le livre de Trefethen , par exemple.

Avantages des éléments finis (FE):

• méthode variationnelle (par exemple, les énergies baissent toujours avec l'augmentation de "p" pour l'équation de Schroedinger, ce qui n'est pas le cas pour FD)
• précis aux ordres élevés (p = 50 de plus)
• une fois implémenté, il est facile de faire une convergence systématique à la fois dans "p" et dans "h" (par opposition à des schémas FD spéciaux pour chaque ordre)

Avantages des différences finies (FD):

• plus facile à mettre en œuvre pour les commandes inférieures
• peut-être plus rapide que FE pour des précisions inférieures

Parfois, les gens disent «différences finies» comme un intégrateur pour ODE comme Runge-Kutta ou la méthode Adams. Dans ce cas, FD présente un autre avantage:

• possible de résoudre directement les ODE non linéaires

tandis que FE a besoin d'une itération non linéaire comme la méthode de Newton.

Plusieurs bonnes réponses ont déjà indiqué que les avantages des méthodes d'éléments finis étant flexibles et puissants, je donnerai ici un autre avantage de FEM, du point de vue de l'espace et de la géométrie différentielle de Sobolev, est que la possibilité qu'un espace d'éléments finis hérite de la condition de continuité physique du Sobolev espaces où la vraie solution réside.

Par exemple, l’élément facial Raviart-Thomas pour l’élasticité plane et la méthode mixte pour la diffusion; Élément de bord Nédélec pour électromagnétisme informatique.

Normalement, la solution d’une EDP, qui est une forme différentielle située dans l’ espace "énergie ingérable": où est le dérivé extérieur, et nous pourrions construire la cohomologie de Rham autour de cet espace , ce qui signifie que nous pourrions construire une séquence de Rham exacte comme celle-ci dans l’espace 3D:$k$$L^2$

$$H\Lambda^k = \{\omega \in \Lambda^k: \omega \in L^2(\Lambda^k), \mathrm{d} \omega \in L^2(\Lambda^k)\}$$ $\mathrm{d}$

$$\mathbb{R}^3 \xrightarrow{id}\, H(\mathbf{grad},\Omega) \xrightarrow{\nabla}\, H(\mathbf{curl},\Omega) \xrightarrow{\nabla \times}\,H(\mathrm{div},\Omega) \xrightarrow{\nabla \cdot}\, L^2(\Omega)$$

la plage de l'opérateur est l'espace nul de l'opérateur suivant, et il existe de nombreuses propriétés intéressantes à ce sujet. Si nous pouvions créer un espace d'éléments finis pour hériter de cette séquence exacte de Rham, la méthode de Galerkin basée sur cet espace d'éléments finis être stable et convergera vers la solution réelle. Et nous pourrions obtenir la propriété de stabilité et d’approximation de l’opérateur d’interpolation simplement par le diagramme de commutation de la séquence de Rham, puis construire la procédure d’estimation d’erreur a posteriori et d’affinage de maillage adaptatif à partir de cette séquence.

Pour en savoir plus, consultez l'article de Douglas Arnold dans Acta Numerica: " Calcul extérieur par éléments finis, techniques homologiques et applications " et une diapositive présentant brièvement l'idée.

Il est important de faire la distinction entre les schémas spatiaux et temporels.

Les éléments finis utilisent souvent des différences finies pour intégrer des termes temporels (par exemple, Euler explicite, implicite, Crank-Nicholson ou Runga Kutta pour la diffusion transitoire) et des éléments finis pour la discrétisation spatiale.

Les éléments finis se prêtent bien à des mailles irrégulières. Ils peuvent être basés sur des principes variationnels, mais ils sont généralement généralisés à l'aide de la méthode des résidus pondérés. Il est facile de développer des bibliothèques d'éléments qui utilisent différents ordres polynomiaux et d'appliquer des contraintes telles que l'incompressibilité à l'aide de multiplicateurs de Lagrange.

Les deux formulations sont le moyen d’atteindre un but: exprimer une équation différentielle en termes de systèmes d’équations et d’algèbre linéaire.

Les déclarations sur la vitesse d'une méthode par rapport à une autre doivent être qualifiées en décrivant l'algorithme. Par exemple, définir des problèmes mécaniques sous forme de problèmes de dynamique hyperbolique peut donner des résultats plus rapides dans certains cas, car ils remplacent la décomposition de la matrice par la multiplication et l'addition.

J'admets que j'en sais beaucoup plus sur les méthodes d'éléments finis que sur les différences finies. FEM est disponible dans des packages commerciaux et est largement utilisé dans l'industrie et le monde universitaire pour résoudre des problèmes de mécanique des solides et de transfert de chaleur. Je crois que les approches aux différences finies ou aux volumes finis sont utilisées dans la dynamique des fluides computationnelle.