Ressources modernes pour l'apprentissage FEM

Je dois commencer à utiliser les méthodes des éléments finis. Je suis sur le point de commencer à lire Solutions numériques d'équations aux dérivées partielles par la méthode des éléments finis par Claes Johnson , mais elle date de 1987.

Deux questions:

1) Quel bien nouveau ressources / manuels / livres électroniques / notes de cours sur ce sujet?

2) Combien me manque-t-il en lisant un livre de 1987?

Merci.

Il existe de nombreuses références aux éléments finis modernes, mais je vais juste commenter quelques livres qui, à mon avis, sont pratiques et pertinents pour les applications, plus un contenant une analyse plus complète.

• Wriggers Nonlinear Finite Element Methods (2008) est une bonne référence générale, mais sera plus pertinente pour ceux concernés par les applications en mécanique des structures (y compris le contact, les coques et la plasticité).

• Elman, Silvester et Wathen Finite elements and fast iterative solvers: with applications in incompressible fluid dynamic (2005) est moins complet sur les techniques de discrétisation par éléments finis, mais a un bon contenu sur les écoulements incompressibles et une certaine classe de solveurs itératifs. Il explique également le package IFISS .

• Les méthodes par éléments finis de Donéa et Huerta pour les problèmes d'écoulement (2003) couvrent des matériaux similaires, mais incluent les méthodes de maillage mobile ALE et la dynamique des gaz compressibles.

• Brenner et Scott La théorie mathématique des méthodes des éléments finis (révision de 2008) contient un développement théorique rigoureux des discrétisations pour les problèmes elliptiques linéaires, y compris la théorie de la décomposition multigrille et du domaine associée. Il ne traite pas les problèmes dominés par le transport, les non-linéarités "désordonnées" comme la plasticité ou les bases non polynomiales.

Ces ressources ne couvrent pas des sujets tels que les méthodes Galerkin discontinues ou les problèmes (Maxwell). Je pense que les articles sont actuellement une meilleure ressource que les livres sur ces sujets, bien que les méthodes discontinues de Galerkin de Hesthaven et Warburton Nodal (2008) en valent certainement la peine.$H(curl)$

Je recommande également la lecture des exemples de packages open source de logiciels d'éléments finis tels que Fenics , Libmesh et deal.ii .

Pour la deuxième question, en tant que lecteur du livre de Claes Johnson moi-même, je dirais que vous n'avez pas manqué grand-chose en tant que débutant dans la méthode des éléments finis, ce livre est assez bien équilibré avec tous les aspects de la FEM, sauf pour la mise en œuvre .

Cependant, de nombreux développements ont été réalisés depuis le livre publié il y a 20 ans, comme d'autres personnes déjà mentionnées: par méthode, il existe Discontinuous Galerkin FEM et FEM non conforme, et H ( d i v ) Éléments conformes, techniques de raffinage de maillage adaptatif ( h p -FEM), FEM spatio-temporelle, FEM la moins carrée, calcul extérieur par éléments finis, etc. Pour résoudre le système d'équation linéaire, il existe des méthodes multigrilles algébriques, divers types de préconditionneurs sympas, des solveurs directs rapides, etc.$H(\mathbf{curl})$$H(\mathrm{div})$$hp$

Pour la première question, outre les références que d'autres personnes ont déjà mentionnées, je vais énumérer quelques livres pour certains sujets spécifiques dans FEM:

• $H(\mathrm{div})$

• $H(\mathbf{curl})$

• Méthodes d'éléments finis d'ordre supérieur de Šolín, Segeth et Doležel: à peu près un livre complémentaire pour plus de deux livres, il a une construction complète et explicite des fonctions de base pour le $H(\mathrm{div})$$H(\mathbf{curl})$

• Méthodes par éléments finis pour les équations de Navier-Stokes par Girault et Raviart: Un autre classique dans les ouvrages de référence FEM IMHO, l'analyse théorique des potentiels vectoriels est le joyau, si vous traitez avec le calcul FEM des champs vectoriels 3D, alors ce livre a à peu près toute l'analyse théorique dont vous avez besoin.

• A posteriori Error Estimation in Finite Element Analysis par Ainsworth et Oden: ce livre traite de l'idée centrale du raffinement adaptatif du maillage: une estimation d'erreur a posteriori pour le FEM, et comment construire divers types d'indicateurs d'erreur locaux.

• Théorie et pratique des éléments finis par Ern et Guermond: un autre livre bien équilibré, je dirais, mais pas pour les débutants, ce livre est destiné aux personnes qui connaissent FEM dans une certaine mesure, mais qui souhaitent rechercher plus d'ingrédients, par exemple, le l'auteur a établi la condition Babuška Inf-Sup dans le cadre général de l'espace de Banach et l'a comparée avec le théorème de cartographie ouverte et de plage fermée dans l'analyse fonctionnelle; De plus, ce livre a une belle présentation de la méthode de Galerkin discontinue pour les EDP hyperboliques; Dans la partie III du livre, l'auteur nous a donné une présentation complète de la mise en œuvre, de la façon de choisir les points de quadrature à la façon de stocker efficacement la matrice clairsemée, et un pseudo-code pour les sous-programmes nécessaires.

Mon préféré pour la mécanique et la dynamique des structures linéaires n'a pas encore été mentionné:

Procédures par éléments finis , de KJ Bathe.

Si vous avez une formation en ingénierie structurelle, ce livre est la meilleure introduction à la FEM que j'ai vue. Il discute en profondeur de la formulation des éléments structurels, de la condition inf-sup, de l'estimation des erreurs et de l'analyse modale. Il traite également des non linéarités, du flux de chaleur et des problèmes de flux de fluide, mais je ne peux pas le recommander pour ces sujets (il y a simplement de meilleurs livres pour eux)

Mes autres favoris ont déjà été mentionnés (par exemple Ern et Guermond, Donea et Huerta). Cependant, je voudrais également ajouter:

Une analyse de la méthode des éléments finis , de Strang et Fix.

comme une introduction à la théorie derrière le FEM.

Il existe de nombreux manuels sur les méthodes des éléments finis.

Quelques références classiques sont

• O. Axelsson, VA Barker "Solution aux éléments finis des problèmes de valeur limite" qui présente les principes fondamentaux et comprend une présentation et une discussion des techniques utiles directes et itératives pour résoudre les systèmes d'équation. La perspective est sur la mécanique et les mathématiques appliquées.

• SC Brenner et L. Ridgway Scotte "La théorie mathématique des méthodes des éléments finis" qui présente la théorie mathématique fondamentale pour comprendre les fondements de la FEM. La perspective est celle des mathématiciens appliqués. Le livre met l'accent sur la théorie mathématique, c'est-à-dire qu'il s'adresse aux mathématiciens ou ingénieurs appliqués qui ont besoin d'approfondir la théorie.

• B. Szabó et I. Babuska "Finite Element Analysis" est un manuel bien écrit où l'histoire, la théorie fondamentale et les principes sont présentés par deux fondateurs de la théorie FEM. La perspective est celle des mathématiciens appliqués et contient des applications en mécanique des structures.

• MS Gockenbach "Comprendre et implémenter la méthode des éléments finis" est une bonne référence introductive sur les bases et quelques sujets avancés de FEM, les détails d'implémentation pertinents de FEM, la discussion des stratégies de solutions pratiques. Il est livré avec des exemples Matlab et est une référence bien écrite pour les débutants. Il se concentre sur le pont entre la théorie du FEM et les applications d'ingénierie.

• I. Babuska, JR Whiteman et T. Strouboulis "Finite Elements - An introduction to the method and error estimation" cherche à introduire la théorie mathématique fondamentale du FEM en mettant l'accent sur les applications d'ingénierie et la compréhension pratique avec un accent particulier sur l'estimation d'erreur pour une utilisation dans l'adaptation FEM. Il est bien écrit et constitue une référence utile sur les sujets.

Puisque Jed a mentionné les méthodes discontinues de Galerkin, j'ai pensé que je devrais mentionner quelques autres livres utiles sur les méthodes spectrales:

Pour la théorie:

• Canuto, C. et Hussaini, M. et Quarteroni, A. et Zang, T. Méthodes spectrales: principes fondamentaux dans les domaines uniques (2006)
• Canuto, C. et Hussaini, M. et Quarteroni, A. et Zang, T. Méthodes spectrales: évolution vers des géométries complexes et applications à la dynamique des fluides (2007)

Si vous voulez une bonne introduction à la mise en œuvre des méthodes spectrales, je recommande fortement:

• Kopriva, DA Implémentation de méthodes spectrales pour les équations aux dérivées partielles (2009) . Les errata peuvent être trouvés ici .

Divulgation: Kopriva est mon conseiller. Le livre est léger sur les résultats hautement théoriques que Canuto et al. couvre et se concentre strictement sur la mise en œuvre.

Je compléterais cette bibliographie avec la bibliothèque deal.ii. Probablement, si vous êtes intéressé par l'analyse fonctionnelle, les estimations d'erreur, etc., ce n'est pas le bon endroit pour vous. Si vous voulez avoir un élément essentiel, mais rigoureuse, image mathématique, ainsi que la stratégie de mise en œuvre et de logiciels, eh bien, il n'y a pas de meilleur endroit pour vérifier que des tutoriels deal.ii .

Permettez-moi également d'ajouter que les conférences vidéo de Wolfgangs sont une ressource précieuse.

Le livre Dietrich Braess - Éléments finis. Théorie, solveurs rapides et applications en mécanique des solides donnent une bonne perspective sur plusieurs sujets standard et avancés. En particulier, Ch. 3 propose des introductions dans de nombreux sujets très différents.

De plus, je pense que ce sont deux références recommandables pour les problèmes d'analyse vectorielle, bien que ce soient des articles très longs plutôt que des manuels:

• $H(\operatorname{curl})$

• Le calcul extérieur par éléments finis, les techniques homologiques et les applications conviennent à ceux (et à l'OMI uniquement) qui souhaitent entrer dans la théorie mathématique du FEM (pour les problèmes non scalaires). Il y a encore un large éventail de lacunes plus petites et plus grandes à combler, mais c'est aussi un bon point de départ pour les méthodes pertinentes.

Je voudrais ajouter

La méthode des éléments finis: théorie, implémentation et applications par tapis. G. Larson et Fredrik Bengzon . La principale caractéristique du livre est contenue dans son titre. Il aborde la théorie, la mise en œuvre et l'application. Contrairement aux livres théoriques par éléments finis habituels qui nécessitent une connaissance de l'analyse fonctionnelle, ces livres maintiennent les exigences au minimum. Comme le disent les auteurs dans la préface du livre, le matériel devrait être accessible aux étudiants n'ayant qu'une connaissance du calcul de plusieurs variables, des équations différentielles partielles de base et de l'algèbre linéaire.

Il est inutile d'essayer d'apprendre la méthode des éléments finis si un manuel particulier ne contient pas de codes vraiment fonctionnels, bien testés et bien commentés. Il y a un livre qui vient avec un CD qui contient une implémentation fonctionnelle de la méthode et des algorithmes décrits dans le livre. La page Web suivante fournit une brève description du livre et un exemple:

http://members.ozemail.com.au/~comecau/quad_shell.htm

Le livre est disponible sur le site d'Amazon:

http://www.amazon.com/Computational-Geometry-Surfaces-Application-Analysis/dp/0646930818

J'espère que cela t'aides.