Quelle est l'idée générale de la méthode de Nitsche en analyse numérique?

Je sais que la méthode de Nitsche est une méthode très intéressante car elle permet de prendre en compte les conditions aux limites de type Dirichlet ou le contact avec les conditions aux limites de frottement de façon faible sans utiliser de multiplicateurs de Lagrange. Et son avantage, qui est de transformer une condition aux limites de Dirichlet en termes faibles de la même manière qu'une condition aux limites de Neumann, est payé par le fait que la mise en œuvre dépend du modèle.

Cependant, cela semble trop général pour moi. Pouvez-vous me donner une idée plus précise de cette méthode? Un exemple simple serait apprécié.

La méthode de Nitsche est liée aux méthodes discontinues de Galerkin (en effet, comme le souligne Wolfgang, elle est un précurseur de ces méthodes), et peut être dérivée d'une manière similaire. Considérons le problème le plus simple, l'équation de Poisson: Nous recherchons maintenant une formulation variationnelle qui

$$\left\{\begin{aligned} -\Delta u &= f \qquad\text{on }\Omega,\\ u &= g \qquad\text{on }\partial\Omega. \end{aligned}\right. \tag{1}$$

1. est satisfaite par la solution (faible) (c'est-à-dire cohérente),$u\in H^1(\Omega)$
2. est symétrique en et v ,$u$$v$
3. admet une solution unique (ce qui signifie que la forme bilinéaire est coercitive).

Nous commençons comme d'habitude en prenant la forme forte de l'équation différentielle, en multipliant par une fonction de test et en l'intégrant par parties. En partant du côté droit, on obtient ( f , v ) = ( - Δ u , v $v\in H^1(\Omega)$ où, dans la dernière équation, nous avons ajouté le zéro productif0=u-gà la frontière. Réorganiser les termes pour séparer les formes linéaires et bilinéaires donne maintenant une équation variationnelle pour une forme bilinéaire symétrique qui est satisfaite pour la solutionu∈H1(Ω)de(1).

$$\begin{aligned} (f ,v) = (-\Delta u,v)&=(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds \\ &= (\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} (u-g)\partial_\nu v\,ds \end{aligned}$$ $0=u-g$$u\in H^1(\Omega)$$(1)$

La forme bilinéaire n'est cependant pas coercitive, puisque vous ne pouvez pas la limiter par le bas pour par c ‖ v ‖ 2 H 1 (car nous n'avons pas de conditions aux limites pour arbitraire v ∈ H 1 ( Ω ) , nous ne pouvons pas utiliser L'inégalité de Poincaré comme d'habitude - cela signifie que nous pouvons faire le$u=v$$c\|v\|_{H^1}^2$$v\in H^1(\Omega)$partie L 2 de la norme arbitrairement grande sans changer la forme bilinéaire). Nous devons donc ajouter un autre terme (symétrique) qui disparaît pour la vraie solution: η ∫ ∂ Ω ( u - g ) $L^2$ pour certains η > 0 assez grands. Cela conduit à la formulation faible (symétrique, cohérente, coercitive): Trouver u ∈ H 1 ( Ω ) tel que ( $\eta\int_{\partial\Omega} (u-g)v\,ds$$\eta>0$$u\in H^1(\Omega)$

$$(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} u\partial_\nu v\,ds +\eta\int_{\partial\Omega} u v\,ds = -\int_{\partial\Omega} g\partial_\nu v\,ds + \eta\int_{\partial\Omega} g v\,ds + \int_\Omega f v\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1(\Omega).$$

En prenant au lieu de des approximations discrètes u h , v h ∈ V h ⊂ H 1$u,v\in H^1(\Omega)$ donne l'approximation de Galerkin habituelle. Notez que comme il n'est pas conforme en raison des conditions aux limites (nous recherchons la solution discrète dans un espaceplus grandquecelui dans lequelnous avons cherché la solution continue), on ne peut pas déduire la bonne pose du problème discret de celle de le problème continu. Nitsche a maintenant montré que si η est choisi comme c $u_h,v_h\in V_h\subset H^1(\Omega)$$\eta$ pourc>0suffisamment grand, le problème discret est en fait stable (par rapport à une norme appropriée dépendante du maillage).$ch^{-1}$$c>0$

(Ce n'est pas la dérivation originale de Nitsche, qui est antérieure aux méthodes Galerkin discontinues et part d'un problème de minimisation équivalent. En fait, son article d'origine ne mentionne pas du tout la forme bilinéaire correspondante, mais vous pouvez la trouver dans, par exemple, Freund et Stenberg, Sur les conditions aux limites faiblement imposées pour les problèmes du second ordre , Actes du neuvième éléments finis de conf. Int. Dans les fluides, Venise 1995. M. Morandi Cecchi et al., Eds. Pp. 327-336 .)