Méthode des éléments finis vs méthode des éléments finis étendue (FEM vs XFEM)

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Quelles sont les principales différences entre FEM et XFEM? Quand devrions-nous (ne pas) utiliser XFEM à la place de FEM et vice versa? En d'autres termes, lorsque je rencontre un nouveau problème, comment puis-je savoir lequel utiliser?

Anh-Thi DINH
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La plupart du temps, j'ai rencontré XFEM, c'était pour traiter des discontinuités liées à la propagation des fissures et à la fracturation en mécanique des solides. Je ne l'ai cependant pas vraiment vu utilisé en dehors de cette seule application.
Paul
En fait, de nombreux autres domaines utilisent également XFEM pour résoudre. C'est la raison pour laquelle j'ai besoin de savoir comment reconnaître cette méthode chaque fois que je commence à résoudre un problème.
Anh-Thi DINH

Réponses:

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La méthode des éléments finis (FEM) est la méthode parente qui a inspiré beaucoup, beaucoup d'autres méthodes et méthodes qui sont en fait FEM mais prétendent ne pas l'être.

Dans la méthode des éléments finis, des "fonctions de forme" sont utilisées pour fournir un espace d'approximation afin que la solution puisse être représentée par un vecteur. Dans le FEM classique, ces fonctions de forme sont des polynômes.

Dans la méthode des éléments finis étendus (XFEM), des fonctions supplémentaires d'enrichissement sont utilisées pour approximer la solution en plus des fonctions de forme polynomiale. Ces fonctions d'enrichissement sont choisies pour avoir des propriétés que la solution est connue pour suivre.

Les fonctions d'enrichissement XFEM les plus évidentes sont les fonctions de puissance introduites aux coins vifs des fissures pour représenter les singularités du gradient de solution (c'est-à-dire la singularité de la contrainte pour les problèmes de mécanique des solides). Le XFEM peut être utilisé pour d'autres fonctions d'enrichissement et d'autres domaines de solution (notamment le transfert de chaleur), mais le nom est synonyme d'analyse de fracture.

La distinction entre les différentes méthodes - est-ce XFEM ou non?, Etc. - est délicate et subtile et sans importance.

En ce qui concerne l'utilisation, XFEM voit très peu d'utilisation pratique. Il existe une poignée d'applications dans les codes à éléments finis réels, notamment Abaqus, mais elles n'ont pas été largement acceptées.

Pour presque tous les problèmes pratiques, le FEM classique serait utilisé. Pour la plupart des problèmes d'analyse de fracture, le MEF classique peut toujours être utilisé avec un raffinement de maillage et / ou un raffinement p appropriés dans la zone du fond de fissure. D'autres modèles de fracture, moins rigoureux, peuvent également être utilisés.

Mike
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rαr0<α<11<α<0
@WolfgangBangerth, merci! J'ai modifié ma réponse pour dire «fonctions de puissance», c'est ce que je voulais mettre en premier lieu, bien que cela reste imprécis. J'ai presque mis sqrt (r) (pour une fissure fermée) pour peindre une image plus claire, mais je ne savais pas si cela serait gênant. Il y a une tonne de détails, je sais, sur l'implémentation sérieuse de XFEM (certains que j'ai étudiés et d'autres non).
Mike
@Mike: une autre question moins connexe est la suivante: quelle est la différence entre FEM à bulle P1 et XFEM? Peux-tu me montrer?
Anh-Thi DINH du
@PoBo, il y a peu de similitude. Les deux méthodes impliquent l'ajout de fonctions de forme sans modifier le maillage et les deux sont basées sur les mêmes mathématiques de base communes à toute la famille FEM, mais c'est là que la ressemblance s'arrête.
Mike
Si vous ne comprenez pas bien la version p ou l'approche de la fonction de forme de bulle P1, vous pouvez essayer une autre question de haut niveau ou prendre l'un des livres à ce sujet (Szabo et Babuska est globalement assez rigoureux, mais beaucoup moins que les autres couvrant la version p.)
Mike
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Les deux Mike réponse et de Jed un décrivent bien la dichotomie XFEM / FEM et soulignent à juste titre que le plus important domaine d'application est mécanique de la rupture 3D, où vous avez une fissure, soit une discontinuité de déplacement sur une surface à l' intérieur de votre domaine.

Les fissures sont difficiles à modéliser en FEM classique pour deux raisons:

  1. Le maillage doit être congruent à travers la fissure: plus précisément la fissure doit être à la limite d'un sous-domaine de FE. La fissure ne peut pas se trouver à l'intérieur (passer cependant) d'un élément fini.

  2. Le champ de contrainte singulier au fond de la fissure nécessite des éléments spéciaux et / ou des techniques de maillage (éléments quart de point, maillage focalisé) à modéliser avec une bonne précision.

D'un point de vue technique en mécanique de la rupture, vous avez deux principaux types de problèmes:

  1. Calcul du facteur d'intensité de contrainte ,

  2. analyse de la propagation des fissures, p.ex. dans l'analyse de tolérance à la fatigue ou aux dommages.

Pour le premier type de problème, le FEM classique est plus que suffisant et constitue l' outil d'ingénierie standard. (C'est parce que, heureusement, il existe des méthodes énergétiques pour évaluer les facteurs d'intensité de contrainte qui ne sont pas sensibles aux erreurs numériques près du fond de fissure.)

L'analyse de la propagation des fissures est une histoire complètement différente: dans la plupart des cas, vous ne connaissez pas au préalable le chemin des fissures, et un remaillage fréquent est donc nécessaire. La principale promesse de XFEM est de permettre la propagation des fissures à l'intérieur d'un maillage FEM fixe , la fissure se frayant un chemin non seulement à la frontière entre les sous-domaines, mais à l' intérieur des FE eux-mêmes.

XFEM est une technique relativement nouvelle, encore loin d'être un outil d'ingénierie standard. Ma réponse à la question OP, au moins en mécanique des solides et en analyse d'ingénierie, est que XFEM a un champ d'application très étroit et spécialisé en analyse de propagation de fissures et de dommages, pour les géométries 3D complexes, lorsque le chemin de fissure ne peut pas être estimé a priori .

Néanmoins, permettez-moi de souligner que la mécanique de la rupture est un domaine très important en ingénierie: par exemple, les avions actuels sont sûrs également parce qu'il est possible de prédire numériquement les dommages et la propagation des fissures entre les intervalles de maintenance. XFEM, ou de nouvelles techniques similaires, doivent devenir des outils importants dans un avenir proche.

Stefano M
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vous démontrez tous l'importance de XFEM en mécanique de la rupture, mais y a-t-il encore d'autres domaines qui doivent utiliser XFEM au lieu de FEM classique? Par exemple, dans la croissance du biofilm, l'interface du biofilm dans le substrat change avec le temps. La frontière est modifiable (frontière mobile). Si nous utilisons le FEM classique, le maillage doit être généré à chaque pas de temps, n'est-ce pas? Ce n'est vraiment pas bon, surtout dans le cas 3D. Ou si l'on considère 2 phases de fluide avec des gradients de concentration différents, il semble également nécessaire d'utiliser XFEM?
Anh-Thi DINH
Il y a beaucoup de problèmes dans lesquels vous avez des surfaces libres ou des limites mobiles, ce qui est difficile avec des approches lagrangiennes pures (en raison de remaniements fréquents). XFEM concerne davantage la modélisation des discontinuités à l'intérieur des domaines. Je connais des procédures de couplage qui utilisent la discontinuité pour représenter une frontière mobile ... mais je ne suis pas un expert dans ces domaines.
Stefano M
une autre question moins connexe est la suivante: quelle est la différence entre FEM à bulle P1 et XFEM? Peux-tu me montrer?
Anh-Thi DINH
Je suggère d'ouvrir une nouvelle question. Brièvement P1-bubble / P1 est un élément fini particulier (pour la solution de l'équation de Stokes) tandis que XFEM est un concept plus général, concernant l'utilisation de fonctions d'enrichissement pour la modélisation des discontinuités, exploitant une approche de partition d'unité.
Stefano M
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FEM est un sous-ensemble de XFEM. XFEM est une méthodologie pour enrichir les espaces d'éléments finis pour gérer les problèmes de discontinuités (comme la fracture). Avec le FEM classique, atteindre une précision similaire nécessite généralement un maillage conforme complexe et un raffinement adaptatif, alors que comme XFEM le fait avec un seul maillage, déplaçant cette complexité géométrique dans les éléments (XFEM est très compliqué à mettre en œuvre, en particulier en 3D). Parallèlement, XFEM aboutit à des matrices extrêmement mal conditionnées qui nécessitent soit des solveurs directs, soit des méthodes multigrilles très spécialisées (par exemple, Gerstenberger et Tuminaro (2012) ).

Jed Brown
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L'effort pour déplacer la complexité du maillage vers les fonctions de forme est-il vraiment payant au final? Les deux semblent être compliqués de la même manière.
shuhalo
Comme cela arrive souvent en science informatique, cela dépend de qui vous demandez et du problème que vous résolvez. De nombreux praticiens XFEM puntent en utilisant une quadrature brute au lieu d'une quadrature adaptée aux discontinuités intra-élémentaires.
Jed Brown