Je crois que la dérivée d'un processus gaussien (GP) est un autre GP, et je voudrais donc savoir s'il existe des équations de forme fermée pour les équations de prédiction de la dérivée d'un GP? En particulier, j'utilise le noyau de covariance exponentielle au carré (également appelé gaussien) et je veux savoir comment faire des prédictions sur la dérivée du processus gaussien.
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Réponses:
La réponse courte: oui, si votre processus gaussien (GP) est différenciable, sa dérivée est à nouveau un GP. Il peut être géré comme n'importe quel autre GP et vous pouvez calculer des distributions prédictives.
Mais comme un GP et sa dérivée sont étroitement liés, vous pouvez déduire les propriétés de l'un ou de l'autre.G ′g G′
Un GP de moyenne nulle avec fonction de covariance est différentiable (en carré moyen) si existe. Dans ce cas, la fonction de covariance de est égale à . Si le processus n'est pas à moyenne nulle, la fonction moyenne doit également être différenciable. Dans ce cas , la fonction moyenne de est la dérivée de la fonction de moyenne .K ′ ( x 1 , x 2 ) = ∂ 2 KK G′K′G′GK′(x1,x2)=∂2K∂x1∂x2(x1,x2) G′ K′ G′ G
(Pour plus de détails, consultez par exemple l'annexe 10A de A. Papoulis "Probabilité, variables aléatoires et processus stochastiques")
Puisque le noyau exponentiel gaussien est différentiable de n'importe quel ordre, ce n'est pas un problème pour vous.
Ceci est simple si vous voulez simplement conditionner les observations de : si vous pouvez calculer les dérivées respectives que vous connaissez la fonction moyenne et de covariance afin que vous puissiez en faire l'inférence de la même manière que vous le feriez avec n'importe quel autre GP.G′
Mais vous pouvez aussi déduire une distribution prédictive pour sur la base des observations de . Pour ce faire, calculez le postérieur de compte tenu de vos observations de manière standard, puis appliquez 1. à la covariance et à la fonction moyenne du processus postérieur. G GG′ G G
Cela fonctionne de la même manière l'inverse, vous -à- dire l' état des observations de en déduire un postérieur de . Dans ce cas, la fonction de covariance de est donnée par des intégrales de et peut être difficile à calculer, mais la logique est vraiment la même. G G K ′G′ G G K′
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Il est. Voir la section 9.4 de Rasmussen et Williams . De plus, certains auteurs s'opposent fortement au kenrnel exponentiel carré - il est trop lisse.
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