Une série chronologique est-elle la même chose qu'un processus stochastique?

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Un processus stochastique est un processus qui évolue avec le temps, est-ce donc vraiment une façon plus sophistiquée de dire «séries chronologiques»?

Victor
la source
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Une série chronologique est un processus stochastique avec un support d'observation en temps discret. Un processus stochastique peut être observé en temps continu. (Il se peut également que les séries soient davantage liées aux observations et aux processus stochastiques avec l'objet aléatoire derrière.)
Xi'an
La «série» implique une nature discrète ou finie par opposition à une nature potentiellement continue du «processus».
Aksakal
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Un processus stochastique n'a pas besoin d' évoluer avec le temps; il pourrait être stationnaire. À mon avis, la différence entre le processus stochastique et les séries chronologiques est celle du point de vue. Un processus stochastique est une collection de variables aléatoires tandis qu'une série chronologique est une collection de nombres, ou un chemin de réalisation ou d' échantillon d'un processus stochastique. Avec des hypothèses supplémentaires sur le processus, nous pourrions souhaiter utiliser l' histogramme des valeurs des nombres de la série chronologique comme une estimation de la densité commune (ou fonction de masse) de toutes les variables aléatoires composant le processus, etc.
Dilip Sarwate
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@DilipSarwate, les séries chronologiques peuvent être fixes ou non.
Aksakal
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@Aksakal Je vous prie de différer. Supposons que le statisticien ait observé la série temporelle de longueur finie S'agit-il d'une série stationnaire? Comment pouvez-vous dire que c'est (ou pas)? À moins que nous ne disposions de plusieurs séries chronologiques (pour les mêmes instants temporels) à partir desquelles nous pourrions être en mesure de faire des inférences sur le processus stochastique («Gee, les histogrammes des valeurs prises par sont à peu près les mêmes quel que soit le choix de ») . Mais une seule séquence de chiffres? Vous ne pouvez pas dire si la série est stationnaire ou non, mais vous pouvez supposer qu'il en est ainsi du modèle de processus stochastique sous-jacent
1,0,1,0,1,0,1
nXnn
Dilip Sarwate

Réponses:

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Parce que de nombreuses divergences troublantes apparaissent dans les commentaires et les réponses, référons-nous à certaines autorités.

James Hamilton ne définit même pas une série chronologique, mais il est clair sur ce que c'est:

... cet ensemble de nombres n'est qu'un résultat possible du processus stochastique sous-jacent qui a généré les données. En effet, même si nous devions imaginer avoir observé le processus pendant une période de temps infinie, arriver à la séquence { y t } t = = { , y - 1 , y 0 , y 1 , y 2 , , y T , y T + 1 , y T + 2 , T la séquence infinie { y t } t = serait toujours considérée comme une réalisation unique à partir d'un processus de séries chronologiques. ...

{yt}t=={,y1,y0,y1,y2,,yT,yT+1,yT+2,,},
{yt}t=

Imaginez une batterie de ... ordinateurs générant des séquences { y ( 1 ) t } t = - , { y ( 2 ) t } t = - , , { y ( I ) t } t = - , et envisagez de sélectionner l'observation associée à la date t dans chaque séquence: { y ( 1 )I{yt(1)}t=, {yt(2)}t=,, {yt(I)}t=t Ceci serait décrit comme un échantillon deIréalisations de la variable aléatoireYt. ...

{yt(1),yt(2),,yt(I)}.
IYt

( Analyse des séries chronologiques , chapitre 3.)

Ainsi, un "processus de séries chronologiques" est un ensemble de variables aléatoires indexées par des entiers t .{Yt}t

Dans les équations différentielles stochastiques, Bernt Øksendal fournit une définition mathématique standard d'un processus stochastique général:

{Xt}tT
(Ω,F,P) Rn

T[0,)[a,b]Rnn1

En réunissant les deux, nous voyons qu'un processus de séries chronologiques est un processus stochastique indexé par des nombres entiers.

Certaines personnes utilisent des «séries chronologiques» pour faire référence à la réalisation d'un processus de séries chronologiques (comme dans l'article Wikipedia ). Nous pouvons voir dans le langage de Hamilton un effort raisonnable pour distinguer le processus de la réalisation par son utilisation de «processus de séries chronologiques», afin qu'il puisse utiliser des «séries temporelles» pour se référer à des réalisations (ou même à des données).

whuber
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(+1) Je pense que le dernier paragraphe est particulièrement important (quoique subtil). Je voulais cependant ajouter que l'idée d'une "série chronologique continue" est parfois perçue. Parfois, l'expression est utilisée simplement pour indiquer que la variable elle-même est continue, plutôt que discrète, mais je l'ai également vue pour indiquer que le temps est échantillonné en continu , donc "indexé par des entiers" peut ne pas être une définition universellement acceptée. Voir par exemple ici , dans Time Series: Theory & Methods de Brockwell & Davis.
Silverfish
1
@Silverfish J'apprécie ces commentaires. En fin de compte, cependant, je les trouve peu convaincants pour la simple raison que la "série" est universellement utilisée en mathématiques pour désigner une fonction avec un domaine dénombrable . "Échantillonné en continu" ne peut pas être inclus dans ce concept. Je ne remets pas en cause vos observations selon lesquelles certains auteurs ont qualifié les processus stochastiques en temps continu de "séries" - je dis seulement que si c'est le cas, ils abusent d'une terminologie bien établie.
whuber
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Je pense qu'il y a un certain degré de débat «description contre prescription» dans tout cela. L'idée d'une "série chronologique continue" est définitivement une utilisation minoritaire (je me demande si cela dépend du champ, ma compréhension limitée est que les personnes qui traitent le signal se réfèrent généralement à un "signal temporel continu" plutôt qu'à une "série") et personnellement, je Je suis enclin à convenir que le mot "série" est logiquement plus cohérent avec un échantillonnage discret. Je voulais juste souligner que l'utilisation minoritaire n'est pas inconnue, même parmi les experts, ce qui peut expliquer une partie de la confusion générée.
Silverfish
@Silverfish, donc, pour cette minorité qui considère également les séries chronologiques continues, le processus stochastique est égal aux séries chronologiques?
Code Pope
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{Xt}

Mwandri
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Définir un processus stochastique

(Ω,F,P)SR

  • ΩS
  • t
    • tTXt
    • ωΩX(ω)X

Définition d'une série chronologique

Alors qu'un processus stochastique a une définition mathématique claire comme du cristal. Une série chronologique est une notion moins précise, et les gens utilisent des séries chronologiques pour se référer à deux objets liés mais différents:

  1. Comme le décrit WHuber, un processus stochastique indexé par des nombres entiers ou une unité de temps incrémentielle régulière qui peut dans un sens être mappé à des nombres entiers (par exemple, des données mensuelles).
  2. Une collecte de données observée à intervalles réguliers. Cela pourrait être la réalisation d'un processus stochastique indexé par des entiers. Parfois, on parle de données de séries chronologiques.

Exemple: deux flips d'un tack

Ω={ωHH,ωHT,ωTH,ωTT}X1,X2

X1(ω)={1:ω{ωHH,ωHT}0:ω{ωTH,ωTT}

X2(ω)={1:ω{ωHH,ωTH}0:ω{ωHT,ωTT}

{X1,X2}XX(ωHH)=(H,H)

Matthew Gunn
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La différence entre un processus stochastique et une série chronologique ressemble un peu à la différence entre un chat sur un clavier et une réponse sur Stack Exchange: les chats sur les claviers peuvent produire des réponses, mais les chats sur les claviers ne sont pas des réponses. De plus, toutes les réponses ne sont pas produites par un chat sur un clavier.

Une série chronologique peut être comprise comme un ensemble de paires temps-valeur-données-points. En revanche, un processus stochastique est un modèle mathématique ou une description mathématique d'une distribution de séries chronologiques¹. Certaines séries temporelles sont une réalisation de processus stochastiques (de l'une ou l'autre sorte). Ou, d'un autre point de vue: je peux utiliser un processus stochastique comme modèle pour générer une série chronologique.

De plus, les séries chronologiques peuvent également être générées de différentes manières:

  • Ils peuvent être le résultat d'observations et sont donc générés par la réalité. Bien que je puisse modéliser la réalité comme un processus stochastique (je pourrais également dire que je considère la réalité comme un processus stochastique), la réalité n'est pas un processus stochastique de la même manière que l'intérieur d'une boîte n'est pas un ensemble de points (bien que nous les deux équivalents dans les contextes de modélisation).

  • x=2


¹ S'il s'agit d'un processus stochastique à temps discret. Les processus stochastiques en temps continu sont des distributions de fonctions plutôt que des séries chronologiques.

Wrzlprmft
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Il est difficile de savoir si vous faites une distinction entre un modèle et un ensemble de données ou si vous essayez de faire valoir un autre point. Il n'est pas clair non plus ce que vous considérez comme un processus stochastique. (Tout ce que vous avez dit, c'est qu'il ne s'agit "même pas" d'un "processus stochastique à temps discret".) Ces incertitudes dans votre exposé pourraient ajouter à la confusion plutôt que de la résoudre.
whuber
@whuber: J'ai modifié ma réponse pour clarifier certains aspects, mais je pense que vous avez également mal compris la phrase «pas même».
Wrzlprmft
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J'apprécie toutes les discussions / commentaires apportés sur le sujet de la série chronologique vs le processus stochastique. Voici ma compréhension de la différence: Les séries chronologiques sont un phénomène observé, enregistré comme une série de nombres indexés avec le temps à l'observation; il s'agit très probablement d'une série d'observations d'un phénomène réel tel que le cours des actions à la Bourse de New York. D'un autre côté, le processus stochastique est toujours compris comme une représentation mathématique (et non une production) des séries chronologiques.

Mage
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Les processus stochastiques sont plus généraux que les séries chronologiques. Par exemple, les chaînes de Markov sont des processus stochastiques qui ne sont pas des séries temporelles.
Michael R. Chernick
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@Michael Chernick: La chaîne de Markov n'est-elle pas cohérente avec les définitions: "un ensemble de variables aléatoires indexées par des entiers t" et "un processus stochastique indexé par des entiers"? Quelles parties de ces définitions les chaînes de Markov ne satisfont pas ou êtes-vous en désaccord avec ces définitions?
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