Marche aléatoire avec élan

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Considérez une marche aléatoire entière commençant à 0 avec les conditions suivantes:

  • La première étape est plus ou moins 1, avec une probabilité égale.

  • Chaque étape future est: 60% susceptibles d'être dans la même direction que l'étape précédente, 40% susceptibles d'être dans la direction opposée

Quelle sorte de distribution cela produit-il?

Je sais qu'une marche aléatoire sans élan donne une distribution normale. L'élan change-t-il simplement la variance ou change-t-il complètement la nature de la distribution?

Je cherche une réponse générique, donc par 60% et 40% au-dessus, je veux vraiment dire p et 1-p

barrycarter
la source
En fait, @Dilip, il faut une chaîne de Markov à états indexés par couples (i,i+1) et (i,i1) , iZ . Les transitions sont (i,i+1)(i+1,i+1) et avec probabilité p et ( i , i + 1 ) ( i + 1 , i ) et ( i , i - 1 ) ( i - 1 , i - 2 ) avec probabilité 1 - p . (i,i1)(i1,i)p(i,i+1)(i+1,i)(i,i1)(i1,i2)1p
whuber
Notez que les tailles de pas forment une chaîne de Markov sur et il vous arrive (?!) De l'avoir démarrée à une distribution stationnaire. {1,+1}
Cardinal
Voulez-vous une distribution limite (marginale) pour où les X n{ - 1 , + 1 } sont les étapes de la marche? Sn=i=1nXnXn{1,+1}
cardinal
Une autre approche pourrait consister à examiner des sommes alternées de variables géométriques aléatoires, puis à appliquer une théorie de la martingale. Le problème est qu'il faudrait définir une sorte de temps d'arrêt, ce qui pourrait être délicat.
shabbychef

Réponses:

8

Pour passer immédiatement à la conclusion, le «momentum» ne change pas le fait que la distribution normale est une approximation asymptotique de la distribution de la marche aléatoire, mais la variance passe de à n p / ( 1 - p ) . Cela peut être dérivé par des considérations relativement élémentaires dans ce cas particulier. Il n'est pas extrêmement difficile de généraliser les arguments ci-dessous à un CLT pour les chaînes de Markov d'espace d'états finis, par exemple, mais le plus gros problème est en fait le calcul de la variance. Pour le problème particulier, il peut4np(1p)np/(1p)être calculé, et j'espère que les arguments ci-dessous peuvent convaincre le lecteur que c'est la variance correcte.

En utilisant la perspicacité que Cardinal fournit dans un commentaire, la marche aléatoire est donnée comme X k{ - 1 , 1 } et les X k forment une chaîne de Markov avec une matrice de probabilité de transition ( p 1 - p 1 - p p ) . Pour des considérations asymptotiques lorsque n la distribution initiale de X 1 ne joue aucun rôle, permet donc de fixer

Sn=k=1nXk
Xk{1,1}Xk
(p1p1pp).
nX1 pour les besoins de l'argument suivant, et supposons également que 0 < p < 1 . Une technique astucieuse consiste à décomposer la chaîne de Markov en cycles indépendants. Soit σ 1 la première fois, après l'instant 1, que la chaîne de Markov revient à 1. Autrement dit, si X 2 = 1 alors σ 1 = 2 , et si X 2 = X 3 = - 1 et X 4 = 1 alors σ 1 = 4X1=10<p<1σ1X2=1σ1=2X2=X3=1X4=1σ1=4. En général, notons le i ième temps de retour à 1 et soit τ i = σ i - σ i - 1 les temps d' inter-retour (avec σ 0 = 1 ). Avec ces définitions, nous avonsσiiτi=σiσi1σ0=1
  • Avec alors S σ n = X 1 + n i = 1 U i .Ui=k=σi1+1σiXk
    Sσn=X1+i=1nUi.
  • Puisque prend la valeur - 1 pour k = σ i - 1 + 1 , , σ i - 1 et X σ i = 1, il considère que U i = 2 - τ i .Xk1k=σi1+1,,σi1Xσi=1
    Ui=2τi.
  • Les temps d'inter-retour, , pour une chaîne de Markov sont iid (formellement en raison de la forte propriété de Markov) et dans ce cas avec la moyenne E ( τ i ) = 2 et la variance V ( τ i ) = 2 pτiE(τi)=2 . Il est indiqué comment calculer la moyenne et la variance ci-dessous.V(τi)=2p1p
  • Le CLT ordinaire pour les variables iid donne que
    SσnasympN(0,2np1p).
  • La dernière chose à noter, qui nécessite un petit acte de foi, car je laisse de côté les détails, est que , ce qui donne que S n asymp N ( 0 , n pσn=1+i=1nτi2n
    SnasympN(0,np1p).

Pour calculer les moments de on peut noter que P ( τ 1 = 1 ) = p et pour m 2 , P ( τ 1 = m ) = ( 1 - p ) 2 p m - 2 . Ensuite, des techniques similaires à celles utilisées lors du calcul des moments pour la distribution géométrique peuvent être appliquées. Alternativement, si X est géométrique avec une probabilité de succès 1 - p et Z =τ1P(τ1=1)=pm2P(τ1=m)=(1p)2pm2X1pZ=1(τ1=1)1+X(1Z)τ1

NRH
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1/nSn, to show clearly that CLT applies in the usual way. But that is only the matter of taste.
mpiktas
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Van Belle's 'Rule of Thumb' 8.7 (from the second edition of his book) includes an approximation for the standard error of the mean when innovations have autocorrelation ρ. Translating this using ρ=2p1 gives

True standard error of x¯p1psn,
where nx¯ is the position of the random walk after n steps, and s is the sample standard deviation (which will be, asymptotically in n, 1x¯2. The upshot is that I expect, as a rough approximation, that the standard deviation of nx¯ should be around np/(1p).

edit: I had the wrong autocorrelation (or rather p should have been interpreted differently); is now consistent (I hope!)

shabbychef
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Interesting. I'm not sure that yields anything very sensible for the p=0 subcase; though, that could be due to pathologies associated with that case.
cardinal
@cardinal good catch, the autocorrelation should be ρ=2p1, not 12p. correcting it...
shabbychef