Considérez une marche aléatoire entière commençant à 0 avec les conditions suivantes:
La première étape est plus ou moins 1, avec une probabilité égale.
Chaque étape future est: 60% susceptibles d'être dans la même direction que l'étape précédente, 40% susceptibles d'être dans la direction opposée
Quelle sorte de distribution cela produit-il?
Je sais qu'une marche aléatoire sans élan donne une distribution normale. L'élan change-t-il simplement la variance ou change-t-il complètement la nature de la distribution?
Je cherche une réponse générique, donc par 60% et 40% au-dessus, je veux vraiment dire p et 1-p
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Réponses:
Pour passer immédiatement à la conclusion, le «momentum» ne change pas le fait que la distribution normale est une approximation asymptotique de la distribution de la marche aléatoire, mais la variance passe de à n p / ( 1 - p ) . Cela peut être dérivé par des considérations relativement élémentaires dans ce cas particulier. Il n'est pas extrêmement difficile de généraliser les arguments ci-dessous à un CLT pour les chaînes de Markov d'espace d'états finis, par exemple, mais le plus gros problème est en fait le calcul de la variance. Pour le problème particulier, il peut4np(1−p) np/(1−p) être calculé, et j'espère que les arguments ci-dessous peuvent convaincre le lecteur que c'est la variance correcte.
En utilisant la perspicacité que Cardinal fournit dans un commentaire, la marche aléatoire est donnée comme où X k ∈ { - 1 , 1 } et les X k forment une chaîne de Markov avec une matrice de probabilité de transition ( p 1 - p 1 - p p ) . Pour des considérations asymptotiques lorsque n → ∞ la distribution initiale de X 1 ne joue aucun rôle, permet donc de fixer
Pour calculer les moments de on peut noter que P ( τ 1 = 1 ) = p et pour m ≥ 2 , P ( τ 1 = m ) = ( 1 - p ) 2 p m - 2 . Ensuite, des techniques similaires à celles utilisées lors du calcul des moments pour la distribution géométrique peuvent être appliquées. Alternativement, si X est géométrique avec une probabilité de succès 1 - p et Z =τ1 P(τ1=1)=p m≥2 P(τ1=m)=(1−p)2pm−2 X 1−p Z=1(τ1=1) 1+X(1−Z) τ1
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Van Belle's 'Rule of Thumb' 8.7 (from the second edition of his book) includes an approximation for the standard error of the mean when innovations have autocorrelationρ . Translating this using ρ=2p−1 gives
edit: I had the wrong autocorrelation (or ratherp should have been interpreted differently); is now consistent (I hope!)
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