Processus gaussiens du domaine des ondelettes: quelle est la covariance?

J'ai lu Maraun et al , "Processus gaussiens non stationnaires dans le domaine des ondelettes: synthèse, estimation et tests significatifs" (2007) qui définit une classe de généralistes non stationnaires qui peuvent être spécifiés par des multiplicateurs dans le domaine des ondelettes. Une réalisation d'un tel GP est: où est un bruit blanc, est la transformée en ondelettes continue par rapport à l'ondelette , est le multiplicateur (un peu comme un coefficient de Fourier) avec l'échelle et le temps , et est la transformée en ondelettes inverse avec l'ondelette de reconstruction .

s (t) = M_{h} m (b, a) W_{g} η (t),

$s(t) = M_h m(b,a) W_g \eta(t)\, ,$

η (t)

$\eta(t)$

W_{g}

$W_g$

g

$g$

m (b, a)

$m(b,a)$

a

$a$

b

$b$

M_{h}

$M_h$

h

$h$

Un résultat clé de l'article est que si les multiplicateurs ne changent que lentement, alors les réalisations elles-mêmes ne dépendent que "faiblement" des choix réels de et . Ainsi spécifie le processus. Ils continuent à créer des tests importants pour aider à déduire les multiplicateurs d'ondelettes en fonction des réalisations. $m(b,a)$ $g$ $h$ $m(b,a)$

Deux questions:

1. Comment évaluons-nous la probabilité GP standard qui est ? $p(D) = \mathcal{N}(0,K)$

Je suppose que nous faisons effectivement un changement de coordonnées, donc où sont les ondelettes et est la matrice (diagonale?) Des coefficients d'ondelettes . Cependant, ils utilisent un CWT non orthonormé donc je ne sais pas si c'est correct. $K^{-1} = W^T M^{-1} W$ $W$ $M$ $m(a,b)$

2. Comment ce GP de domaine en ondelettes peut-il être lié à un GP en espace réel ? Plus précisément, pouvons-nous calculer un noyau (non stationnaire) en espace réel à partir de ? $k$ $m(a,b)$

À titre de comparaison, le noyau d'un processus gaussien stationnaire est le dual de Fourier de sa densité spectrale (théorème de Bochner, voir Rasmussen chapitre 4) - ce qui permet de basculer facilement entre un GP d'espace réel et un GP d'espace de fréquence. Ici, je demande s'il y a une telle relation dans le domaine des ondelettes.

normal-distribution stochastic-processes gaussian-process fourier-transform wavelet cgreen
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Avez-vous obtenu quelque chose avec ça. Je ne suis pas sûr que le changement de variables soit correct car cela contredirait quand ils disent que est appelé le noyau reproducteur?

K_{g, h} (b - b / a, a / a) = W_{g, h} (b - b / a)

$K_{g,h}(b−b/a,a/a)=W_{g,h}(b−b/a)$

tdc

Réponses:

Le processus d'entraînement, le bruit blanc η (t), est indépendant du choix de la base. Dans un CWT (contrairement au DWT sautant en octaves), il y a une certaine redondance, des bandes d'ondes étroites se chevauchent. La «caractéristique» dont la signification est testée est une variance (puissance) observée dans une fréquence étroite sur une courte période. Cela dépend clairement mathématiquement de l'ondelette choisie mais pas beaucoup - une bande passante plus étroite peut détecter des caractéristiques changeant plus lentement avec une plus grande sensibilité, une bande passante plus large est plus réactive mais a un fond plus bruyant et est moins spécifique.

Comme cela mesure l'espace des ondelettes, il est intégré sur la durée des ondelettes, la transformation que vous avez écrite serait pour n'importe quel "point dans le temps". Généralement, il faut des informations de phase pour inverser le CWT. Le test de Maraun est essentiellement de puissance au chi carré.
Non. Maraun dépend du signal sur bruit dans une bande de fréquence sur une plage de temps, cela peut avoir de nombreuses réalisations différentes dans l'espace de bruit et est indépendant de la phase. Il est sensible à un signal AR (1) dans le domaine des ondelettes à une fréquence spécifique, c'est-à-dire une oscillation soutenue dans le temps, par exemple le domaine CWT aura tendance à supprimer un pic isolé de bruit à large bande.

James Prichard
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