Je connais une grande partie du contexte mathématique derrière les ondelettes. Cependant, lors de la mise en œuvre d'algorithmes sur un ordinateur avec des ondelettes, je ne suis pas sûr de savoir si je dois utiliser des ondelettes continues ou discrètes. Dans toute réalité, tout sur un ordinateur est bien sûr discret, il semble donc évident que les ondelettes discrètes sont le bon choix pour le traitement numérique du signal. Cependant, selon wikipedia, c'est la transformation en ondelettes continue qui est principalement utilisée dans la compression d'image (numérique) ainsi que dans un grand nombre d'autres activités de traitement de données numériques. Quels sont les avantages et les inconvénients à considérer pour décider d'utiliser une transformée en ondelettes continue (approximative) au lieu d'une transformée en ondelettes discrète (exacte) pour le traitement d'image ou de signal numérique?
PS (Vérification d'une hypothèse ici) Je suppose que les transformées en ondelettes continues sont utilisées dans le traitement numérique en prenant simplement la valeur de l'ondelette continue à des points régulièrement espacés et en utilisant la séquence résultante pour les calculs d'ondelettes. Est-ce correct?
PPS Habituellement, wikipedia est assez précis sur les mathématiques, donc je suppose que les applications de l'article sur les transformées en ondelettes continues sont en fait des applications de la transformation en ondelettes continue. Certes, il en mentionne certains qui sont spécifiquement CWT, il y a donc clairement une certaine utilisation de CWT dans les applications numériques.
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Une erreur de conception très courante mais malheureuse dans le domaine des ondelettes a à voir avec la terminologie mal inventée des "Transformées en ondelettes continues".
Première chose: la transformation en ondelettes continue (CWT) et la transformation en ondelettes discrète (DWT) sont toutes deux des transformations numériques, point par point, qui sont facilement mises en œuvre sur un ordinateur.
La différence entre une transformation "continue" et une transformation "discrète" dans le contexte en ondelettes vient de:
1) Le nombre d'échantillons sauté lorsque vous corrélez un signal avec votre ondelette.
2) Le nombre d'échantillons sauté lorsque vous dilatez votre ondelette.
3) Le CWT utilise uniquement une ondelette, tandis que le DWT utilise à la fois une ondelette et un scale-let. (Pas important pour cette discussion, mais ici pour être complet).
Mais ne vous y trompez pas - un CWT, tout comme un DWT, est à tout moment une opération discrète et numérique.
Laissez cet exemple illustrer ceci: considérons l'ondelette de Haar, [1 -1]. Disons que nous voulions faire un DWT avec le Haar Wavelet. Donc, vous convoluez votre signal, avec l'ondelette mère Haar, [1 -1], mais uniquement à des retards dyadiques. Par exemple, disons que votre signal est le vecteur suivant:
Le premier résultat de la convolution DWT avec votre Haar Wavelet est:
Le résultat suivant est:
Le suivant est:
Et enfin le dernier est:
Quelque chose vous semble étrange? J'ai dit de prendre la convolution de votre signal avec l'ondelette - alors comment se fait-il que je ne me retrouve qu'avec quatre valeurs? C'est parce que je saute des échantillons lorsque je fais des convolutions dans le DWT. J'ai d'abord pris [1 2], fait un produit scalaire, puis pris [3 4]. Qu'est-il arrivé à [2 3]? Je l'ai sauté.
Quand ne le sautez-vous pas? Lorsque vous effectuez un CWT. Si vous faisiez un CWT, ce serait une convolution numérique «normale» de votre signal, avec l'ondelette de Haar.
La deuxième chose, c'est la façon dont vous dilatez vos ondelettes. Dans l'exemple du haut, l'ondelette de Haar est [1 -1] pour la décomposition de premier niveau. Au deuxième niveau, l'ondelette Haar DWT devient [1 1 -1 -1]. Cependant, dans le CWT, l'ondelette Haar de deuxième niveau est [1 0 -1]. Encore une fois, dans le DWT, je ne développe pas point par point - je n'ai jamais d'ondelette à trois longueurs. Cependant, dans le CWT, je passe de la longueur 2 à la longueur 3. Dans le DWT, je suis allé directement de la longueur 2 à la longueur 4.
C'est le long et le court, j'espère que cela a aidé.
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