Différence entre la transformée de Fourier à temps discret et la transformée de Fourier discrète

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J'ai lu de nombreux articles sur DTFT et DFT mais je ne suis pas en mesure de discerner la différence entre les deux, à l'exception de quelques éléments visibles comme DTFT va jusqu'à l'infini tandis que DFT n'est que jusqu'à N-1. Quelqu'un peut-il expliquer la différence et quand utiliser quoi? Wiki dit

La DFT diffère de la transformée de Fourier à temps discret (DTFT) en ce que ses séquences d'entrée et de sortie sont toutes deux finies; il s'agit donc de l'analyse de Fourier des fonctions à temps discret à domaine fini (ou périodique).

Est-ce la seule différence?

Edit: cet article explique bien la différence

BaluRaman
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Le DTFT est une fonction continue de fréquence, mais le DFT est une fonction discrète de fréquence.
John
Le point clé est,DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT
nmxprime
@nmxprime Vous voulez dire que DFT est une version échantillonnée de DTFT?
endolith
1
@endolith Yes.it is
nmxprime
L'article que vous avez lié (page 2) dit que "CTFT nous a donné un spectre de fréquences discret". N'est-ce pas faux? Je pensais que la fréquence était continue dans ce cas de signal apériodique à temps continu subissant la transformée de Fourier.
Aditya P

Réponses:

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La transformée de Fourier en temps discret (DTFT) est la transformée de Fourier (conventionnelle) d'un signal en temps discret. Sa sortie est continue en fréquence et périodique. Exemple: pour trouver le spectre de la version échantillonnée d'un signal à temps continu x ( t ), le DTFT peut être utilisé.x(kT)x(t)

La transformée de Fourier discrète (DFT) peut être considérée comme la version échantillonnée (dans le domaine fréquentiel) de la sortie DTFT. Il est utilisé pour calculer le spectre de fréquences d'un signal à temps discret avec un ordinateur, car les ordinateurs ne peuvent gérer qu'un nombre fini de valeurs. Je dirais que la sortie DFT n'est pas finie. Il est également périodique et peut donc se poursuivre indéfiniment.

Résumer:

                DTFT                | DFT
       input    discrete, infinite  | discrete, finite *)
       output   contin., periodic   | discrete, finite *)

*) Une propriété mathématique de la TFD est que les deux ses entrées et sorties sont périodiques avec la longueur DFT . Autrement dit, bien que le vecteur d'entrée de la DFT soit fini dans la pratique, il est juste de dire que la DFT est le spectre échantillonné si l'entrée DFT est considérée comme périodique.N

Deve
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avez - vous pas dire que l'entrée DTFT est en fini?
Lutz Lehmann
@LutzL Cela peut être infini en général, oui. Je vais changer ça. Qu'en est-il de la sortie DFT: préférez-vous l'appeler finie ou périodique ?
Deve
Je pense que la sortie de DFT est une séquence finie N-périodique
BaluRaman
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Dans le DFT, beaucoup dépend de l'interprétation. Du point de vue technique, il transforme le fini en fini. Du point de vue qu'il calcule les coefficients d'un polynôme trigonométrique, on pourrait dire qu'il transforme l'infini discret périodique en fini. Mais on peut décaler la fenêtre des fréquences utilisées pour représenter l'entrée, et les amplitudes sur toutes les fréquences possibles forment à nouveau une séquence périodique.
Lutz Lehmann
Pour être plus cohérent je mettrais "périodique" au lieu de "fini" pour l'entrée de la DFT. Ceci est une conséquence directe de la discrète DFT (sortie).
Matt L.
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D'accord, je vais répondre à cela avec un argument que les "opposants" à ma position rigide de type nazi concernant la DFT ont.

tout d'abord, ma position rigide, nazie : la série DFT et la série Fourier discrète sont identiques. la DFT mappe une séquence infinie et périodique, x[n] avec la périodeN dans le domaine "temps" à une autre séquence infinie et périodique,X[k] , encore avec la périodeN , dans le domaine "fréquence". et l'iDFT le cartographie en arrière. et ils sont "injectifs" ou "inversibles" ou "un à un".

DFT:

X[k]=n=0N1x[n]ej2πnk/N

iDFT:

x[n]=1Nk=0N1X[k]ej2πnk/N

c'est le plus fondamentalement ce qu'est la TFD. c'est intrinsèquement une chose périodique ou circulaire.

mais les négateurs de la périodicité aiment dire ceci à propos de la DFT. c'est vrai, cela ne change rien à ce qui précède.

Donc, supposons que vous ayez une séquence de longueur finie x[n] de longueurN et, au lieu de l'étendre périodiquement (ce que fait la DFT de façon inhérente), vous ajoutez cette séquence de longueur finie avec des zéros infiniment à gauche et à droite. donc

x^[n]{x[n]for 0nN10otherwise

maintenant, cette séquence infinie non répétitif fait un DTFT:

DTFT: X ( e j ω ) = + Σ n = - x [ n ] e

X^(ejω)=n=+x^[n]ejωn

X^(ejω)est la transforméeZ de x [n]évalués sur le cercle unitéz=ejωpourinfinité devéritablesvaleurs deωx^[n]z=ejωω . maintenant, si vous le DTFT échantillon X ( e j ω ) à N points également espacés sur le cercle unitaire, avec un seul point à z = e jX^(ejω)Nz=ejω=1, vous obtenez

X^(ejω)|ω=2πkN=n=+x^[n]ejωn|ω=2πkN=n=+x^[n]ej2πkn/N=n=0N1x^[n]ej2πkn/N=n=0N1x[n]ej2πkn/N=X[k]

c'est précisément la relation entre la DFT et la DTFT. échantillonner le DTFT à des intervalles uniformes dans les causes de domaine « fréquence », dans le domaine « temps », la séquence d' origine x [ n ] à répéter et décalé par tous les multiples de N et de chevauchement-ajoutée. c'est ce que l'échantillonnage uniforme dans un domaine provoque dans l'autre domaine. mais depuisx^[n]Nx^[n]est supposée être0dehors de l'intervalle0nN1, quichevauchent ajoutée ne fait rien. il prolonge simplement périodiquement la partie non nulle de x [nx^[n] [ n ] ., notre séquence originale de longueur finie, x[n]

robert bristow-johnson
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3
La réponse acceptée était bonne, mais j'ai trouvé votre réponse plus éclairante. Merci d'avoir fourni la connexion mathématique réelle entre le DTFT et le DFT ... en particulier l'échantillonnage des spectres provoquant la périodicité dans le domaine temporel. C'est un point que j'oublie toujours.
rayryeng
Votre deuxième paragraphe semble impliquer que les DFT acceptent des séquences d'entrée de longueur infinie. Quelqu'un a-t-il déjà effectué un DFT de longueur infinie?
Richard Lyons
salut Rick, je suis content de te voir ici depuis comp.dsp . Je me souviens avoir été accueilli par @PeterK lors de ma première migration (mais je ne quitterai jamais comp.dsp ). de toute façon, au même degré que le DFS accepte une séquence d'entrée de longueur infinie est le degré que le DFT accepte une entrée qui est de longueur infinie. tout ce que je dis, c'est que la DFT et la DFS sont une seule et même chose.
robert bristow-johnson
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@robert bristow-johnson. ce fut une belle explication. ma question est peut-être mauvaise mais, par séries de Fourier discrètes, vous faites référence au cas où l'entrée est une fonction périodique continue qui se poursuit indéfiniment dans les deux sens, n'est-ce pas? D'après ce dont je me souviens, en lisant le livre de George Silov sur Dover, si vous augmentez suffisamment le nombre de coefficients de Fourier en utilisant une grille de fréquences suffisamment fine, la série de Fourier peut reproduire arbitrairement une fonction continue de période. ce sont les fs dont vous parlez, quand vous dites qu'ils sont identiques à DFT, n'est-ce pas? THX.
Mark leeds
par série de Fourier discrète, je veux dire la même chose que les définitions DFT et iDFT présentées dans la réponse:
X[k]=n=0N1x[n]ej2πnk/N
x[n]=1Nk=0N1X[k]ej2πnk/N
x[n]X[k]N
x[n+N]=x[n]nZ
X[k+N]=X[k]kZ
N
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La sortie DTFT étant continue, elle ne peut pas être traitée avec des ordinateurs. Nous devons donc convertir ce signal continu sous forme discrète. Ce n'est rien d'autre que la DFT comme une nouvelle avancée sur la FFT pour réduire les calculs.

gaurav singhal
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Si j'ai raison, même si l'entrée DFT est périodique, bien que le nombre d'échantillons soit fini, les mathématiques derrière elle le traitent comme une séquence infinie qui commence périodiquement les Néchantillons après sa fin. S'il vous plait corrigez moi si je me trompe.

ubuntu_noob
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certains sur comp.dsp avec lesquels j'ai eu des arguments pourraient vous "corriger", mais ils ont tort. il n'y a pas de différence entre la DFT et la série Fourier discrète. Pas du tout.
robert bristow-johnson
Pour m'aider à comprendre ce qui se dit ici, j'ai une question concernant la sortie de l'opération que vous appelez une "série de Fourier discrète". Cette sortie est-elle une séquence de nombres ou une fonction continue (une équation)?
Richard Lyons
-1

X[k]=n=0N1x[n]ej2πnk/N
X[n]=1Nk=0N-1X[k]ej2πnk/N
user25761
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Veuillez utiliser le balisage Latex pour que vos calculs soient lisibles et expliquer un peu plus le processus que vous avez suivi, afin que votre réponse puisse réellement aider le PO.
MBaz