Existe-t-il des alternatives à la transformation bilinéaire?

Lors de la conception d'un filtre numérique basé sur un filtre analogique, nous utilisons généralement la transformation bilinéaire . Pour approximer une fonction de transfert discrète de la fonction de transfert analogique (continue) nous substituonsA ( s $D_a(z)$$A(s)$

$$z = \frac{1+sT/2}{1-sT/2}$$

où est la période d'échantillonnage. Alternativement, pour approximer une fonction de transfert continue de la fonction de transfert discrète nous substituonsA a ( s ) D ( z $T$$A_a(s)$$D(z)$

$$s = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$$

Existe-t-il d'autres méthodes pour effectuer de telles conversions? Y a-t-il de meilleures approximations?

Les filtres analogiques sont stables si les pôles sont dans la moitié gauche du plan s (figure à gauche) et les filtres numériques sont stables si les pôles sont à l'intérieur du cercle unitaire (figure à droite). Donc, mathématiquement, tout ce qui est nécessaire pour convertir l'analogique en numérique est un mappage (conforme?) Du demi-espace au disque unitaire et l' axe au cercle unitaire . Toute transformation qui le fait est un candidat possible pour être une alternative à la transformation bilatérale.| z | = $\jmath\Omega$$\vert z\vert=1$

Deux des méthodes bien connues sont la méthode d'invariance d'impulsion et la méthode de transformée en Z appariée . Conceptuellement, les deux sont similaires à l'échantillonnage d'une forme d'onde continue que nous connaissons. Indiquant la transformée de Laplace inverse par et la transformée Z en , ces deux méthodes impliquent de calculer la réponse impulsionnelle du filtre analogique comme$\mathcal{L}^{-1}$$\mathcal{Z}$

$$a(t)=\mathcal{L}^{-1}\{A(s)\}$$

et échantillonnage à un intervalle d'échantillonnage suffisamment élevé pour éviter le repliement. La fonction de transfert du filtre numérique est alors obtenue à partir de la séquence échantillonnée comme$a(t)$$T$$a[n]$

$$D_a(z)=\mathcal{Z}\{a[n]\}$$

Cependant, il existe des différences clés entre les deux.

Méthode d'invariance d'impulsion:

Dans cette méthode, vous développez la fonction de transfert analogique sous forme de fractions partielles (pas dans la transformation Z correspondante comme mentionné par Peter ) comme

$$A(s)=\sum_m \frac{C_m}{s-\alpha_m}$$

où est une constante et sont les pôles. Mathématiquement, toute fonction de transfert avec un numérateur de degré inférieur au dénominateur peut être exprimée comme une somme de fractions partielles . Seuls les filtres passe-bas satisfont à ce critère (passe-haut et passe-bande / coupe-bande ont au moins le même degré), et donc la méthode invariante d'impulsion ne peut pas être utilisée pour concevoir d'autres filtres.$C_m$$\alpha_m$

La raison de l'échec est également assez claire. Si vous aviez un polynôme au numérateur du même degré qu'au dénominateur, vous aurez un terme constant libre qui, lors de la transformation inverse, donnera une fonction delta qui ne peut pas être échantillonnée.

Si vous effectuez les transformations inverses de Laplace et Z en avant, vous verrez que les pôles sont transformés en ce qui signifie que si votre filtre analogique est stable, le filtre numérique sera également stable . Il préserve donc la stabilité du filtre.$\alpha_m \to e^{\alpha_m T}$

Transformation Z adaptée

Dans cette méthode, au lieu de diviser la réponse impulsionnelle en fractions partielles, vous effectuez une simple transformation des pôles et des zéros de la même manière (appariée) que et (également préservant la stabilité), donnant$\beta_m\to e^{\beta_m T}$$\alpha_m\to e^{\alpha_m T}$

$$A(s)=\frac{\prod_m (s-\beta_m)}{\prod_n (s-\alpha_n)}\longrightarrow \frac{\prod_m \left(1-z^{-1}e^{\beta_m T}\right)}{\prod_n \left(1-z^{-1}e^{\alpha_n T}\right)}$$

Vous pouvez facilement voir la limitation de ces deux méthodes. L'invariant d'impulsion n'est applicable que si votre filtre est passe-bas et que la méthode de transformée z adaptée est applicable aux filtres coupe-bande et passe-bande (et passe-haut jusqu'à la fréquence de Nyquist). Ils sont également limités dans la pratique par le taux d'échantillonnage (après tout, vous ne pouvez aller jusqu'à un certain point) et souffrent des effets de repliement.

La transformation bilinéaire est de loin la méthode la plus couramment utilisée dans la pratique et les deux ci-dessus sont plutôt plus pour les intérêts académiques. Quant à la conversion en analogique, je suis désolé mais je ne sais pas et je ne peux pas être d'une grande aide car je n'utilise presque jamais de filtres analogiques.

Il existe de nombreuses façons de faire le mappage de à . La communauté du contrôle a quelque chose à dire à ce sujet.$s$$z$

Certains exemples sont:

La transformée en Z correspondante

$s$

$$Y(s) = \frac{a_0}{s + s_0} + \frac{a_1}{s + s_1} + ...$$

Et la conversion de chaque partie de l'expansion de fraction partielle se fait directement en utilisant:

$$s + s_n = 1 - z^{-1} \exp(-s_nT)$$

La règle de Simpson

Une interprétation de la transformée bilinéaire est qu'elle est un moyen de passer du temps continu au temps discret par intégration approximative en utilisant la règle trapézoïdale .

Une technique plus précise pour une intégration approximative utilise la règle de Simpson. Si cette approximation est utilisée, le mappage résultant est:

$$s = \frac{3}{T} \frac{z^2 - 1}{z^2+4z+1}$$