-convergence de la méthode des éléments finis lorsque le côté droit est uniquement en(éqn de Poisson)

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Je sais que l'approximation par éléments finis linéaire par morceaux uh de

Δu(x)=f(x)in Uu(x)=0on U
U f L 2 ( U )
uuhH01(U)ChfL2(U)
UfL2(U)

Question: Si , avons-nous l'estimation analogue suivante, dans laquelle une dérivée est supprimée des deux côtés: u - u hL 2 ( U )C h f H - 1 ( U )fH1(U)L2(U)

uuhL2(U)ChfH1(U)?

pouvez vous fournir des références?

Réflexions: Puisque nous avons encore , il devrait être possible d'obtenir une convergence dans . Intuitivement, cela devrait même être possible avec des fonctions constantes par morceaux.L 2 ( U )uH01(U)L2(U)

Bananach
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Je pense que vous obtenez de l'astuce Nitsche standard même pour . Vous pouvez le trouver par exemple dans Braess - Éléments finis. u H 1uuh0Chuuh1uH1
knl

Réponses:

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L2L2(u-uh,ϕ)ϕL2u-uhH 1 0 ϕL2wϕH 1 0 ( w ϕ , v ) = ( ϕ , v )

uL2=supϕL2{0}(u,ϕ)ϕL2.
(uuh,ϕ)ϕL2uuhH01ϕL2wϕH01
(1)(wϕ,v)=(ϕ,v)for all vH01.
En utilisant la régularité standard de l'équation de Poisson, nous savons que
wϕH2CϕL2.

L'insertion de dans et l'utilisation de l'orthogonalité de Galerkin pour tout élément fini (dans votre cas, linéaire par morceaux) avec fonction donne l'estimation Comme cela vaut pour tout , l'inégalité est toujours vraie si nous prenons l'infimum sur tout linéaire par morceaux . On obtient donc (1) w h ( ϕ , u - u h )v=uuhH01(1)whwhwhu - u h L 2 = sup ϕ L 2{ 0 } ( u - u h , ϕ )

(ϕ,uuh)=(wϕ,(uuh))=(wϕwh,(uuh))CuuhH1wϕwhH1.
whwh
(2)uuhL2=supϕL2{0}(uuh,ϕ)ϕL2CuuhH1supϕL2{0}infwhwϕwhH1ϕL2.
C'est le Aubin-Nitsche-Lemma .

L'étape suivante consiste maintenant à utiliser des estimations d'erreur standard pour la meilleure approximation par éléments finis des solutions à l'équation de Poisson. Puisque n'est que dans , nous n'obtenons pas une meilleure estimation que Mais heureusement, nous pouvons utiliser le fait que a une régularité plus élevée depuis le côté droit au lieu de . Dans ce cas, nous avons Insertion de et dansuH1

(3)uuhH1infvhuvhH1cuH1CfH1.
wϕϕL2H1 (3)(4)(2)
(4)infwhwϕwhH1chwϕH2ChϕL2
(3)(4)(2) donne maintenant l'estimation souhaitée.

(Notez que les estimations standard nécessitent que le degré polynomial de l'approximation des éléments finis et l'exposant de Sobolev de la vraie solution satisfassent , donc cet argument ne fonctionne pas pour une approximation constante par morceaux ( ). Nous avons également utilisé - c'est-à-dire que nous avons une approximation conforme - ce qui n'est pas vrai pour les constantes par morceaux.)m m < k + 1 k = 0 u - u hH 1 0kmm<k+1k=0uuhH01

Puisque vous avez demandé une référence: vous pouvez trouver une déclaration (même pour les espaces de Sobolev négatifs au lieu de ) dans le théorème 5.8.3 (avec le théorème 5.4.8) dans L 2HsL2

Susanne C. Brenner et L. Ridgway Scott , MR 2373954 La théorie mathématique des méthodes des éléments finis , Textes en mathématiques appliquées ISBN: 978-0-387-75933-3.

Christian Clason
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Et je peux utiliser notre nouvelle fonctionnalité de citation brillante :)
Christian Clason
H01
H01H1
Merci pour la mise à jour complète. Et pour avoir trouvé une autre citation brillante
Bananach
1
vh