-convergence de la méthode des éléments finis lorsque le côté droit est uniquement en(éqn de Poisson)

Je sais que l'approximation par éléments finis linéaire par morceaux $u_h$ de

$$\Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U$$ U f ∈ L 2 ( U $$\|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)}$$ $U$$f\in L^2(U)$

Question: Si , avons-nous l'estimation analogue suivante, dans laquelle une dérivée est supprimée des deux côtés: ‖ u - u h ‖ L 2 ( U ) ≤ C h ‖ f ‖ H - 1 ( U $f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)$

$$\|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad?$$

pouvez vous fournir des références?

Réflexions: Puisque nous avons encore , il devrait être possible d'obtenir une convergence dans . Intuitivement, cela devrait même être possible avec des fonctions constantes par morceaux.L 2 ( U $u\in H^1_0(U)$$L^2(U)$

$L^2$$L^2$(u-uh,ϕ)ϕ∈L2u-uhH 1 0 ϕ∈L2wϕ∈H 1 0 ( ∇ w ϕ , ∇ v ) = ( ϕ , v

$$\|u\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}}.$$ $(u-u_h,\phi)$$\phi\in L^2$$u-u_h$$H^1_0$$\phi\in L^2$$w_\phi\in H^1_0$ $$\label{eq1}\tag{1} (\nabla w_\phi,\nabla v) =(\phi,v) \qquad\text{for all }v\in H^1_0.$$ En utilisant la régularité standard de l'équation de Poisson, nous savons que $$\|w_\phi\|_{H^2}\leq C \|\phi\|_{L^2}.$$

L'insertion de dans et l'utilisation de l'orthogonalité de Galerkin pour tout élément fini (dans votre cas, linéaire par morceaux) avec fonction donne l'estimation Comme cela vaut pour tout , l'inégalité est toujours vraie si nous prenons l'infimum sur tout linéaire par morceaux . On obtient donc (1) w h ( ϕ , u - u h$v=u-u_h\in H^1_0$$\eqref{eq1}$$w_h$whwh ‖ u - u h ‖ L 2 = sup ϕ ∈ L 2 ∖ { 0 } ( u - u h , ϕ

$$\begin{aligned} (\phi,u-u_h) &= (\nabla w_\phi,\nabla (u-u_h))\\ &= (\nabla w_\phi-\nabla w_h,\nabla (u-u_h))\\ &\leq C \|u-u_h\|_{H^1}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}. \end{aligned}$$ $w_h$$w_h$ $$\label{eq2}\tag{2} \|u-u_h\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u-u_h,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}} \leq C \|u-u_h\|_{H^1} \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{\inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}}{\|\phi\|_{L^2}}.$$ C'est le Aubin-Nitsche-Lemma .

L'étape suivante consiste maintenant à utiliser des estimations d'erreur standard pour la meilleure approximation par éléments finis des solutions à l'équation de Poisson. Puisque n'est que dans , nous n'obtenons pas une meilleure estimation que Mais heureusement, nous pouvons utiliser le fait que a une régularité plus élevée depuis le côté droit au lieu de . Dans ce cas, nous avons Insertion de et dans$u$$H^1$

$$\label{eq3}\tag{3} \|u-u_h\|_{H^1} \leq \inf_{v_h}\|u-v_h\|_{H^1} \leq c \|u\|_{H^1} \leq C \|f\|_{H^{-1}}.$$ $w_\phi$$\phi\in L^2$$H^{-1}$ (3)(4) $$\label{eq4}\tag{4} \inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1} \leq c h \|w_\phi\|_{H^2} \leq C h \|\phi\|_{L^2}$$ $\eqref{eq3}$$\eqref{eq4}$$\eqref{eq2}$ donne maintenant l'estimation souhaitée.

(Notez que les estimations standard nécessitent que le degré polynomial de l'approximation des éléments finis et l'exposant de Sobolev de la vraie solution satisfassent , donc cet argument ne fonctionne pas pour une approximation constante par morceaux ( ). Nous avons également utilisé - c'est-à-dire que nous avons une approximation conforme - ce qui n'est pas vrai pour les constantes par morceaux.)m m < k + 1 k = 0 u - u h ∈ H 1 $k$$m$$m<k+1$$k=0$$u-u_h\in H^1_0$

Puisque vous avez demandé une référence: vous pouvez trouver une déclaration (même pour les espaces de Sobolev négatifs au lieu de ) dans le théorème 5.8.3 (avec le théorème 5.4.8) dans L $H^{-s}$$L^2$

Susanne C. Brenner et L. Ridgway Scott , MR 2373954 La théorie mathématique des méthodes des éléments finis , Textes en mathématiques appliquées ISBN: 978-0-387-75933-3.