Que nous dit l'analyse de stabilité de Von Neumann sur les équations aux différences finies non linéaires?

Je lis un article [1] où ils résolvent l'équation non linéaire suivante utilisant des méthodes de différences finies. Ils analysent également la stabilité des schémas à l'aide de l'analyse de stabilité de Von Neumann. Cependant, comme le réalisent les auteurs, cela ne s'applique qu'aux PDE linéaires. Les auteurs contournent donc ce problème en «gelant» le terme non linéaire, c'est-à-dire qu'ils remplacent le terme u u x par U u x , où U est «considéré comme représentant des valeurs localement constantes de

Ma question est donc double:

1: comment interpréter cette méthode et pourquoi ça marche (pas)?

2: pourrait-on également remplacer le terme terme u U x , où U x est "considéré comme représentant des valeurs localement constantes de u x "?$uu_x$$uU_x$$U_x$$u_x$

Références

1. Eilbeck, JC et GR McGuire. "Etude numérique de l'équation I à ondes longues régularisée: méthodes numériques." Journal of Computational Physics 19.1 (1975): 43-57.

Ce que vous dites est appelé linéarisation. Il s'agit d'une technique courante utilisée dans l'analyse des PDE non linéaires. Ce qui est fait est de lancer des équations dans le format,

$u_t+Au=0$

Ici, A est une matrice résultant de la linéarisation de l'équation.

Maintenant à vos questions,

1. Comme vous le pensez, cela fonctionne dans une certaine mesure, mais pas dans une autre mesure. L'utilité est que la stabilité peut être prouvée pour les systèmes linéaires mais pas facilement pour les systèmes non linéaires. Les résultats linéaires sont donc étendus aux systèmes non linéaires. Souvent, différentes méthodes sont adoptées pour des cas particuliers. Par exemple,

$uu_x = \frac{1}{2}(u^2)_x$

qui est la forme de conservation. Donc,

$u_t+\frac{1}{2}(u^2)_x = 0$

lorsqu'il est représenté dans un sens de volume fini donne des limites sur l'évolution de u.

2. Quelle est l'utilité de faire le remplacement. Vous supprimerez l'équation d'un formulaire d'équation d'onde. Ce qui signifierait que les solutions ne se comporteraient pas comme une équation d'onde. Ainsi, dans l'analyse de stabilité, les solutions d'essai devraient être complètement différentes et non physiques également.

Pour développer l'argument de linéarisation, dans uu_x vous voulez supposer que u est localement constant, pas u_x, pour deux raisons: a) u varie plus lentement que sa dérivée, et b) dans ce cas particulier, si vous supposez que u_x est localement constant , par définition, vous supposez également que u est localement linéaire, ce qui signifie que les dérivées spatiales supérieures sont nulles, ce qui non seulement introduit une erreur d'approximation supplémentaire, mais cela peut impliquer que vous jetez le bébé avec l'eau du bain, selon votre équation.