Pourquoi la conservation locale est-elle importante lors de la résolution des EDP?

Les ingénieurs insistent souvent sur l'utilisation de méthodes localement conservatrices telles que le volume fini, la différence finie conservatrice ou les méthodes discontinues de Galerkin pour résoudre les PDE.

Qu'est-ce qui peut mal tourner lorsque vous utilisez une méthode qui n'est pas localement conservatrice?

D'accord, la conservation locale est donc importante pour les PDE hyperboliques, qu'en est-il des PDE elliptiques?

Dans la solution des EDP hyperboliques non linéaires, des discontinuités ("chocs") apparaissent même lorsque la condition initiale est lisse. En présence de discontinuités, la notion de solution ne peut être définie qu'au sens faible. La vitesse numérique d'un choc dépend des conditions correctes de Rankine-Hugoniot imposées, qui à leur tour dépendent de la satisfaction numérique locale de la loi de conservation intégrale. Le théorème de Lax-Wendroff garantit qu'une méthode numérique convergente ne convergera vers une solution faible de la loi de conservation hyperbolique que si la méthode est conservatrice.

Non seulement vous devez utiliser une méthode prudente, mais vous devez en fait utiliser une méthode qui conserve les bonnes quantités. Il y a un bel exemple qui explique cela dans "Les méthodes de volumes finis pour les problèmes hyperboliques" de LeVeque, Section 11.12 et Section 12.9. Si vous discrétisez l'équation de Burgers

via la discrétisation cohérente

vous observerez que les chocs se déplacent à la mauvaise vitesse, peu importe combien vous affinez la grille. Autrement dit, la solution numérique ne convergera pas vers la vraie solution . Si vous utilisez plutôt la discrétisation conservatrice

basé sur la différenciation des flux, les chocs se déplaceront à la bonne vitesse (qui est la moyenne des états à gauche et à droite du choc, pour cette équation). Cet exemple est illustré dans ce bloc-notes IPython que j'ai écrit .

Pour les PDE hyperboliques linéaires et pour d'autres types de PDE qui ont généralement des solutions lisses, la conservation locale n'est pas un ingrédient nécessaire pour la convergence. Cependant, cela peut être important pour d'autres raisons (par exemple, si la masse totale est une quantité d'intérêt).

Je pense qu'une réponse à votre question est que certaines communautés ont simplement toujours utilisé des régimes conservateurs et que cela fait donc partie de «la façon dont cela se fait». On peut se demander si c'est la meilleure façon de le faire, mais c'est à peu près aussi fructueux que de demander aux Britanniques de conduire à droite car il serait tout simplement plus pratique de n'avoir que du côté standard.

Cela dit, je vois des cas où c'est utile. Pensez, par exemple, à un écoulement de média poreux diphasique. Ce problème se pose généralement de la manière suivante: Ici, une partie du problème consiste à résoudre le Laplace mixte qui constitue les deux premières équations, une tâche traditionnellement effectuée à l'aide d'éléments Raviart-Thomas. Ils sont souvent choisis en raison de "l'importance d'assurer la conservation de la masse", et dans un sens, je peux comprendre que: si vous vous retrouvez avec un champ de vitesse qui n'est pas conservateur de masse, vous obtiendrez une équation de saturation qui ne conserve pas l'ensemble masse du fluide transporté. Bien sûr, on peut affirmer que cela neh →

Plusieurs fois, les équations à résoudre représentent une loi de conservation physique. Par exemple, les équations d'Euler pour la dynamique des fluides sont des représentations de la conservation de la masse, de l'impulsion et de l'énergie. Étant donné que la réalité sous-jacente que nous modélisons est conservatrice, il est avantageux de choisir des méthodes qui sont également conservatrices.

Vous pouvez également voir quelque chose de similaire avec des champs électromagnétiques. Les lois de Maxwell incluent la condition sans divergence pour le champ magnétique, mais cette équation n'est pas toujours utilisée pour l'évolution des champs. Une méthode qui conserve cette condition (par exemple: transport contraint) aide à faire correspondre la physique de la réalité.

Edit: @hardmath a souligné que j'avais oublié de répondre à la partie "ce qui pourrait mal tourner" de la question (merci!). La question se réfère spécifiquement aux ingénieurs, mais je vais fournir quelques exemples de mon propre domaine (astrophysique) et j'espère qu'ils aideront à illustrer suffisamment les idées pour généraliser à ce qui pourrait mal tourner dans une application d'ingénierie.

(1) Lors de la simulation d'une supernova, vous avez une dynamique des fluides liée à un réseau de réaction nucléaire (et à d'autres physiques, mais nous l'ignorerons). De nombreuses réactions nucléaires dépendent fortement de la température, qui (selon une approximation de premier ordre) est une mesure de l'énergie. Si vous ne conservez pas l'énergie, votre température sera soit trop élevée (auquel cas vos réactions courent beaucoup trop vite et vous introduisez beaucoup plus d'énergie et vous obtenez une fuite qui ne devrait pas exister) ou trop basse (auquel cas vos réactions courir beaucoup trop lentement et vous ne pouvez pas alimenter une supernova).

(2) Lors de la simulation d'étoiles binaires, vous devez refondre l'équation du moment pour être la conservation du moment angulaire. Si vous ne parvenez pas à conserver l'élan angulaire, vos étoiles ne peuvent pas orbiter correctement. S'ils gagnent un élan angulaire supplémentaire, ils se séparent et cessent d'interagir correctement. Si elles perdent leur élan angulaire, elles s'entrechoquent. Des problèmes similaires se produisent lors de la simulation de disques stellaires. La conservation de la quantité de mouvement (linéaire) est souhaitable, car les lois de la physique conservent la quantité de mouvement linéaire, mais parfois vous devez abandonner la quantité de mouvement linéaire et conserver la quantité de mouvement angulaire, car cela est plus important pour le problème en question.

Je dois admettre, bien que citant l'état sans divergence des champs magnétiques, je n'y suis pas aussi bien informé. Le fait de ne pas maintenir la condition sans divergence peut générer des monopôles magnétiques (dont nous n'avons aucune preuve actuellement), mais je n'ai pas de bons exemples en main des problèmes qui pourraient causer une simulation.

Aujourd'hui, je tombe sur une thèse sur le schéma EMAC pour les simulations de Navier-Stokes et son application à Flow Past Bluff Bodies et je remarque que la section 1.2 de celui-ci répond, au moins partiellement, à la question d'OP. Les parties pertinentes sont:

Il est largement admis dans la communauté de la dynamique des fluides numérique ( CFD ) que plus la physique est intégrée dans la discrétisation, plus les solutions discrètes sont précises et stables, en particulier sur des intervalles de temps plus longs. N. Phillips en 1959 [42] a construit un exemple pour l'équation de tourbillon non linéaire barotrope (en utilisant un schéma de différence finie), où l'intégration à long terme des termes de convection entraîne un échec des simulations numériques pour n'importe quel pas de temps. Dans [4] Arakawa a montré que l'on peut éviter les problèmes d'instabilité avec l'intégration sur une longue période si l'énergie cinétique et l'enstrophie (en 2D) sont conservées par un schéma de discrétisation. …. En 2004, Liu et Wang ont développé un système qui conserve l'hélicité et l'énergie pour les écoulements tridimensionnels. Dans [35] , ils présentent un schéma préservant l'énergie et l'hélicité pour les écoulements axisymétriques. Ils montrent également que leur double système de conservation élimine le besoin d'une grande viscosité numérique non physique. …

… Il est connu depuis des décennies dans CFD, que plus les quantités physiques sont conservées par un schéma d'éléments finis, plus la prédiction est précise, en particulier sur les longs intervalles de temps. Ainsi, les solutions apportées par un schéma plus précis physiquement sont également plus pertinentes physiquement. Si l'on pouvait se permettre un maillage entièrement résolu et un pas de temps infiniment petit, tous les schémas d'éléments finis couramment utilisés fourniraient les mêmes solutions numériques. Cependant, dans la pratique, on ne peut pas se permettre un maillage entièrement résolu dans les simulations 3D, en particulier pour les problèmes liés au temps. Par exemple, dans le chapitre 2, nous avons besoin de 50 à 60 000 pas de temps, où chaque pas de temps nécessite la résolution d'un système linéaire clairsemé avec 4 millions d'inconnues. Cela a nécessité 2-3 semaines de temps de calcul avec un code hautement parallèle sur 5 nœuds avec 24 cœurs chacun.