Interprétation de l'intervalle de prédiction bayésien à 95%

Supposons le modèle de régression bivarié suivant: où est iid pour .

$$y_i = \beta x_i + u_i,$$ $u_i$$N(0, \sigma^2 = 9)$$i = 1,\ldots, n$

Supposons un a priori non informatif , alors on peut montrer que le pdf postérieur pour est où$p(\beta) \propto \text{constant}$$\beta$

$$p(\beta|\mathbf{y}) = (18\pi)^{-\frac{1}{2}}\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{\frac{1}{2}} \exp\left[-\frac{1}{18}\sum_{i=1}^n x_i^2 (\beta - \hat{\beta})^2\right],$$ $\hat{\beta} = (\sum_{i=1}^n y_ix_i)/(\sum_{i=1}^n x_i^2).$

Considérons maintenant la valeur de avec une valeur future donnée de , : où est iid , alors nous pouvons montrer que est une densité normale avec espérance et variance Ainsi, la fonction de densité de probabilité postérieure pour , conditionnelle à , est $y$$x$$x_{n+1}$

$$y_{n+1} = \beta x_{n+1} + u_{n+1},$$ $u_{n+1}$$N(0, \sigma^2 = 9)$ $$p(y_{n+1}|x_{n+1},\mathbf{y}) = \int_{\beta} p(y_{n+1}|x_{n+1}, \beta, \mathbf{y}) p(\beta|\mathbf{y})d\beta$$ $$E[y_{n+1}|x_{n+1},\mathbf{y}] = \hat{\beta}x_{n+1},\quad {\rm var}[y_{n+1}|x_{n+1},\mathbf{y}] = \frac{9[x_{n+1}^2 + \sum_{i=1}^n x_i^2]}{\sum_{i=1}^n x_i^2}.$$ $y_{n+1}$$x_{n+1}$ $$\begin{align} p(y_{n+1}|x_{n+1},\mathbf{y}) = &\left(\frac{18\pi\left[x_{n+1}^2 + \displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i^2}\right]}{ \displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i^2}}\right)^{-\frac{1}{2}} \\ & \times \exp\left\{-\frac{\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i^2}}{18\left(x_{n+1}^2 + \displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i^2}\right)}\left(y_{n+1}-\hat{\beta}x_{n+1}\right)^2\right\} \end{align}$$

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Maintenant la question est: Spécifiez un intervalle de prédiction de 95% pour et interprétez-le soigneusement. Sur quel (s) aspect (s) du processus de génération de données l'intervalle ne parvient-il pas à tenir compte de notre incertitude?$y_{n+1}$

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Je ne sais pas trop comment répondre à la question, mais voici ma tentative:

Donc, nous devons essentiellement trouver quelques et tels que$a$$b$$P(a < y_{n+1} < b) = \int_{a}^b p(y_{n+1}|x_{n+1}, \mathbf{y}) dy_{n+1} = 95\%$

Nous savons maintenant que où et , d'où: $y_{n+1}|x_{n+1}, \mathbf{y} \sim N(m, v^2)$$m = E[y_{n+1}|x_{n+1},\mathbf{y}]$$v^2 = var[y_{n+1}|x_{n+1},\mathbf{y}]$

$$\frac{y_{n+1}-m}{v} \sim N(0,1)$$ $$P(-1.96 < \frac{y_{n+1}-m}{v} < 1.96) = 95\%$$ $$P(-1.96v+m < y_{n+1} < 1.96v+m) = 95\%$$

Maintenant, parce que nous conditionnons sur et regardons l'expression de et , nous voyons que et sont des valeurs connues. On peut donc prendre et . c'est-à-dire que nous pouvons sélectionner de nombreuses autres possibilités de et qui donnent une probabilité de ... mais comment cela se rapporte-t-il à la réponse à la partie de la question qui demande quels aspects du processus de génération de données cet intervalle ne prend pas en compte?$x_{n+1}$$v$$m$$v$$m$$a = -1.96v+m$$b = 1.96v+m$$a$$b$$95\%$

L'intervalle accueille toute l'incertitude du problème. Dans votre description du problème, les seules choses que vous ne savez pas sont et . L'intervalle de prédiction que vous avez dérivé tient compte de l'incertitude des deux. Il n'y a donc plus d'incertitude quant à l'intervalle de "ne pas tenir compte".$\beta$$u$