Si

J'essaie de prouver la déclaration:

Si et sont des variables aléatoires indépendantes,$X\sim\mathcal{N}(0,\sigma_1^2)$$Y\sim\mathcal{N}(0,\sigma_2^2)$

alors est également une variable aléatoire normale.$\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

Pour le cas spécial (disons), nous avons le résultat bien connu que chaque fois que et sont des variables indépendantes. En fait, il est plus généralement connu que sont des variables indépendantes.$\sigma_1=\sigma_2=\sigma$$\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$$X$$Y$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ N(0,σ$\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$$\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$

Une preuve du dernier résultat suit en utilisant la transformation où et . En effet, ici et . J'ai essayé d'imiter cette preuve pour le problème actuel, mais elle semble devenir désordonnée.x = r cos θ , y = r sin θ u = $(X,Y)\to(R,\Theta)\to(U,V)$$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$U=X$u=\frac{r}{2}\sin(2\theta),v=\frac{r}{2}\cos(2\theta)$ V=X2-Y$U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$$V=\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$

Si je n'ai fait aucune erreur, alors pour je me retrouve avec la densité conjointe de comme ( U , V $(u,v)\in\mathbb{R}^2$$(U,V)$

J'ai le multiplicateur ci-dessus car la transformation n'est pas biunivoque.$2$

La densité de serait donc donnée par , qui n'est pas facilement évalué.∫ R f U , V ( u , v $U$$\displaystyle \int_{\mathbb{R}}f_{U,V}(u,v)\,\mathrm{d}v$

Maintenant, je suis intéressé de savoir s'il existe une preuve que je ne peux travailler qu'avec et que je n'ai pas à considérer certains pour montrer que est normal. Trouver le CDF de ne me semble pas si prometteur pour le moment. Je voudrais également faire de même pour le cas .V U U σ 1 = σ 2 = $U$$V$$U$$U$$\sigma_1=\sigma_2=\sigma$

Autrement dit, si et sont des variables indépendantes, je souhaite montrer que sans utiliser de changement de variables. Si, d'une manière ou d'une autre, je peux affirmer que , alors j'ai terminé. Donc deux questions ici, le cas général puis le cas particulier.Y N ( 0 , σ 2 ) Z = 2 X $X$$Y$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$Zd=$Z=\frac{2XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$Z\stackrel{d}{=}X$

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X,Y∼N(0,1$X^2-Y^2/ \sqrt{X^2+Y^2}\sim N(0,1)$ lorsque indépendamment$X,Y\sim N(0,1)$ .

Étant donné que sont iid , montrez que sont iidN ( 0 , 1 ) X $X,Y$$N(0,1)$ N(0,$\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$$N(0,\frac{1}{4})$ .

Éditer.

Ce problème est en fait dû à L. Shepp comme je l'ai découvert dans les exercices d' une introduction à la théorie des probabilités et à ses applications (Vol. II) de Feller, ainsi qu'un indice possible:

Sûrement, et j'ai la densité de à portée de main.$U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}}}$$\frac{1}{X^2}$

Voyons ce que je pourrais faire maintenant. En dehors de cela, un peu d'aide avec l'intégrale ci-dessus est également la bienvenue.

La solution originale du problème par Shepp utilise le concept de propriété de loi stable, qui me semble un peu avancé pour le moment. Je ne pouvais donc pas comprendre l'indice donné dans l'exercice que j'ai cité dans mon article. Je suppose qu'une preuve impliquant uniquement la variable unique $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

• Une note sur les fonctions normales des variables aléatoires normales

• Fonctions normales des variables aléatoires normales

• Un résultat de Shepp

$V$$U$

$\sigma_1^2=1$$\sigma_2^2=\sigma^2$$X^2\sim\chi^2_1$$\frac{Y^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_1$$(X^2,Y^2)$$f_{X^2,Y^2}$

$(X^2,Y^2)\to(W,Z)$$W=\frac{X^2Y^2}{X^2+Y^2}$$Z=\frac{X^2+Y^2}{Y^2}$$(W,Z)$$f_{W,Z}$$f_{W,Z}$$z$$f_W$$W$

$W=U^2$$\frac{1}{2}$$2(1+\frac{1}{\sigma})^{-2}$$(1+\frac{1}{\sigma})^2\,W\sim\chi^2_1$$U$$0$$(1+\frac{1}{\sigma})U\sim\mathcal{N}(0,1)$$U\sim\mathcal{N}\left(0,\left(\frac{\sigma}{\sigma+1}\right)^2\right)$

selon ce

Transformer deux variables aléatoires normales

$X=r\cos(\theta) \hspace{.5cm} Y=r\sin(\theta) \hspace{.5cm} X,Y \sim normal(0,1) \Leftrightarrow \theta \sim Uniform(0,2\pi) \hspace{.5cm} r^2\sim chi(2)$
$X$$Y$$\Leftrightarrow$ $\theta$$r$

$\sin(\theta) \sim \cos(\theta) \sim \sin(2\theta) \sim 2\sin(\theta) \cos(\theta) \sim \cos(2\theta) \sim \cos(2\theta) \sim f$$f(z) =\frac{1}{\pi \sqrt(1-z^2)} I_{[-1,1]}(z)$$z=\sin(\theta) \Rightarrow f(z)=|\frac{d}{dz} \sin^{-1}(z)| f_{\theta}(\sin^{-1}(z)) + |\frac{d}{dz} (\pi-\sin^{-1}(z))| f_{\theta}(\pi -\sin^{-1}(z)) =\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} +\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} =\frac{1}{\pi\sqrt(1-z^2)}$

similaire pour les autres.

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \cos(\theta) \sin(\theta)}{r}=2r \cos(\theta) \sin(\theta) =r \sin(2\theta) \sim r \sin(\theta) \sim N(0,1)$

afin que nous puissions montrer:

$X= \sigma r \cos(\theta)$$Y=\sigma r \sin(\theta)$

donc

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \sigma \sigma \cos(\theta) \sin(\theta)}{r \sigma}=2\sigma r \cos(\theta) \sin(\theta) =\sigma r \sin(2\theta)\sim \sigma r \sin(\theta)\sim \sigma N(0,1)=N(0,\sigma^2)$

montrer indépendant

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}= \sigma r \sin(\theta)$

$\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{r^2 \sigma^2 (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta))}{2r\sigma} =\frac{1}{2} r \sigma (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)) \sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(2\theta)\sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(\theta)$