C’est une question qui découle d’une situation réelle, à propos de laquelle je suis vraiment perplexe quant à sa réponse.
Mon fils doit commencer l'école primaire à Londres. Comme nous sommes italiens, j'étais curieuse de savoir combien d'enfants italiens fréquentaient déjà l'école. J'ai posé la question à l'agent d'admission lors de ma candidature et elle m'a répondu qu'ils avaient en moyenne 2 enfants italiens par classe (sur 30).
Je suis maintenant au moment où je sais que mon enfant a été accepté, mais je n'ai aucune autre information sur les autres enfants. Les critères d'admission sont basés sur la distance, mais aux fins de cette question, je pense que nous pourrions supposer qu'elle est basée sur une répartition aléatoire d'un grand échantillon de candidats.
Combien d'enfants italiens sont censés être dans la classe de mon fils? Sera-ce plus proche de 2 ou 3?
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Réponses:
Comme toujours, vous devez envisager un modèle probabiliste décrivant la manière dont l’école répartit les enfants entre les classes. Possibilités:
Tout cela est raisonnable. Étant donné la stratégie 2, la réponse à votre question est non. Lorsqu'ils utilisent la stratégie 3, l'attente sera proche de 3, mais un peu plus petite. C'est parce que votre fils occupe une "fente" et que vous avez une chance de moins pour un Italien au hasard.
Lorsque l'école utilise la stratégie 1, les attentes augmentent également; combien dépend du nombre d'étrangers par classe.
Sans connaître votre école, il n'y a aucun moyen de répondre à cette question plus parfaitement. Si vous n'avez qu'un cours par an et que les critères d'admission sont les mêmes que ceux décrits ci-dessus, la réponse serait la même que pour le cours 3 ci-dessus.
Calcul pour 3 en détail:
X est le nombre d'enfants italiens dans la classe. Le 1 vient de l'enfant connu, les 29 sont du reste de la classe et 2/30 est la probabilité qu'un enfant inconnu soit italien, étant donné ce que dit l'école. B est la distribution binomiale.
Notez que commencer avec ne donne pas la bonne réponse, car savoir qu'un enfant spécifique est italien viole l'échangeable présumée par la distribution binomiale. Comparez cela avec le paradoxe garçon ou fille , où il est très important de savoir si un enfant est une fille ou de savoir que son aîné est une fille.E(X|X≥1)
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Une autre façon de regarder cela est au niveau des enfants individuels. En supposant que 30 enfants tirés au hasard parmi une population (ce que vous avez indiqué, vous pouvez le faire), nous pouvons revenir en arrière sur la probabilité approximative qu'un enfant italien soit tiré de cette population: = .une / 152/30 1/15
Sachant que l’un des 30 est italien, il suffit de calculer la probabilité pour les autres enfants:
Ainsi, le fait de savoir que votre enfant est italien change le nombre prévu d'enfants italiens dans la classe à environ 2,933, ce qui est beaucoup plus proche de 3 que de 2.
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Voici mes réflexions sur la façon d'aborder ceci:
Soit la variable aléatoire le nombre d'enfants italiens d'une classe actuellement de taille . Soit l’indicateur du nouvel enfant italien. Supposons que nous ajoutions l'enfant à cette classe. Alors le nombre attendu d'enfants italiens dans cette classe augmentée de taille est . Notez que l'indépendance n'a pas d'importance ici car nous n'utilisons que la linéarité des attentes. Si on sait que l' enfant est italien, alors avec une probabilité de 1, nous avons donc augmenté la valeur attendue de 1. n X X n + 1 E ( S n + X ) = E ( S n ) + E ( X ) = E ( S n ) + P ( X = 1 ) X X = 1Sn n X X n+1 E(Sn+X)=E(Sn)+E(X)=E(Sn)+P(X=1) X X=1
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Selon les informations du bureau d’admission, le nombre d’enfants italiens suit le binôme , en supposant l’indépendance. Maintenant que vous savez dans votre classe qu'il y a au moins un enfant italien, l'attente devient . Pour , la valeur est (si le calcul est correct).E ( X | X ≥ 1 ) X ~ B i n o m ( 30 , 2 / 30 ) 2,28Binom(30,2/30) E(X|X≥1) X∼Binom(30,2/30) 2.28
Modifier. Évaluation de l'espérance:
(notez le changement de la limite inférieure de la somme à la dernière étape)
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Non. Votre connaissance des événements imminents ne change rien à l'expérience typique de l'école.
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