Soit des variables aléatoires uniformes standard indépendantes et distribuées de manière identique.
L'attente de est simple:
Maintenant pour la partie ennuyeuse. Pour appliquer LOTUS, j'aurais besoin du pdf de . Bien sûr, le pdf de la somme de deux variables aléatoires indépendantes est la convolution de leurs pdfs. Cependant, ici, nous avons variables aléatoires et je suppose que la convolution conduirait à une expression ... alambiquée (jeu de mots horrible). Existe-t-il un moyen plus intelligent?
Je préférerais voir la bonne solution , mais si c'est impossible ou trop compliqué, une approximation asymptotique pour les grands pourrait être acceptable. Par l'inégalité de Jensen, je sais que
Mais cela ne m'aide pas beaucoup, à moins que je ne trouve également une borne inférieure non triviale. Notez que le CLT ne s'applique pas directement ici, car nous avons la racine carrée de la somme des RV indépendants, pas seulement la somme des RV indépendants. Peut-être qu'il pourrait y avoir d'autres théorèmes limites (que j'ignore) qui pourraient être utiles ici.
Réponses:
Une approche consiste à calculer d'abord la fonction de génération de moment (mgf) deYn définie par Yn=U21+⋯+U2n où Ui,i=1,…,n est aléatoire uniforme uniforme standard et indépendant variables.
Lorsque nous avons cela, nous pouvons voir queEYn−−√
est le moment fractionnaire deYn deordreα=1/2 . Ensuite, nous pouvons utiliser les résultats de l'article Noel Cressie et Marinus Borkent: "The Moment Generating Function has its Moments",Journal of Statistical Planning and Inference13 (1986) 337-344, qui donne des moments fractionnaires via une différenciation fractionnelle de la fonction de génération de moment .
En complément, un tracé du pourcentage d'erreur:
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