Théorème de la limite centrale pour les racines carrées des sommes des variables aléatoires iid

Intrigué par une question à math.stackexchange , et en l'examinant empiriquement, je me pose des questions sur l'énoncé suivant sur la racine carrée des sommes des variables aléatoires iid.

Supposons que sont des variables aléatoires iid avec une moyenne finie et une variance et . Le théorème de limite centrale dit lorsque augmente.$X_1, X_2, \ldots, X_n$$\mu$$\sigma^2$$\displaystyle Y=\sum_{i=1}^n X_i$$\displaystyle \dfrac{Y - n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}} \ \xrightarrow{d}\ N(0,1)$$n$

Si , puis-je également dire quelque chose comme lorsque augmente?$Z=\sqrt{|Y|}$$\displaystyle \dfrac{Z - \sqrt{n |\mu|-\tfrac{\sigma^2}{4|\mu|}}}{\sqrt{\tfrac{\sigma^2}{4|\mu|}}}\ \xrightarrow{d}\ N(0,1)$$n$

Par exemple, supposons que les $X_i$ soient Bernoulli avec la moyenne $p$ et la variance $p(1-p)$ , alors $Y$ est binomial et je peux simuler cela dans R, disons avec $p=\frac13$ :

set.seed(1)
cases <- 100000
n <- 1000
p <- 1/3
Y <- rbinom(cases, size=n, prob=p)
Z <- sqrt(abs(Y))

ce qui donne approximativement la moyenne et la variance espérées pour $Z$

> c(mean(Z), sqrt(n*p - (1-p)/4))
[1] 18.25229 18.25285
> c(var(Z), (1-p)/4)
[1] 0.1680012 0.1666667

et un tracé QQ qui ressemble à de la gaussienne

qqnorm(Z)

La convergence vers un gaussien est en effet un phénomène général.

Supposons que sont des variables aléatoires IID avec la moyenne et la variance , et définissez les sommes . Fixez un nombre . Le théorème central limite habituel nous dit que as , où est le cdf normal standard. Cependant, la continuité du cdf limitant implique que nous avons égalementμ > 0 σ 2 Y n = ∑ n i = 1 X i α P ( Y n - n $X_1,X_2,X_3,...$$\mu\gt 0$$\sigma^2$$Y_n=\sum_{i=1}^n X_i$$\alpha$n→∞ΦP(Yn-n$P(\frac{Y_n-n\mu}{\sigma\sqrt n}\leq \alpha)\to\Phi(\alpha)$$n\to\infty$$\Phi$

$$P\Big(\frac{Y_n-n\mu}{\sigma\sqrt n}\leq \alpha+\frac{\alpha^2 \sigma^2}{4\mu\sigma\sqrt n}\Big)\to\Phi(\alpha)$$ parce que le terme supplémentaire sur le côté droit de l'inégalité tend vers zéro. Réorganiser cette expression conduit à $$P\Big(Y_n\leq (\frac{\alpha\sigma}{2\sqrt \mu}+\sqrt{n\mu})^2\Big)\to\Phi(\alpha)$$

En prenant des racines carrées et en notant que implique que , nous obtenons En d'autres termes, . Ce résultat démontre la convergence vers un gaussien dans la limite comme .P ( Y n < 0 $\mu\gt 0$P ($P(Y_n\lt 0)\to 0$

$$P\Big(\sqrt{|Y_n|}\leq \frac{\alpha\sigma}{2\sqrt \mu}+\sqrt{n\mu}\Big)\to\Phi(\alpha)$$ $\frac{\sqrt{|Y_n|}-\sqrt{n\mu}}{\sigma/{2\sqrt\mu}}\xrightarrow{d}N(0,1)$$n\to\infty$

Est-ce à dire que est une bonne approximation de pour un grand ? Eh bien, nous pouvons faire mieux que cela. Comme le note @Henry, en supposant que tout est positif, nous pouvons utiliser , avec et l'approximation , pour obtenir l'approximation améliorée comme indiqué dans la question ci-dessus. Notez également que nous avons toujours car$\sqrt{n\mu}$$E[\sqrt{|Y_n|}]$$n$E[Yn]=n$E[\sqrt{Y_n}]=\sqrt{E[Y_n]-\text{Var}(\sqrt{Y_n})}$$E[Y_n]=n\mu$$\text{Var}(\sqrt{Y_n})\approx \frac{\sigma^2}{4\mu}$$E[\sqrt{|Y_n|}]\approx\sqrt{n\mu- \dfrac{\sigma^2}{4\mu}}$

$$\frac{\sqrt{|Y_n|}-\sqrt{n\mu-\frac{\sigma^2}{4\mu}}}{\sigma/{2\sqrt\mu}}\xrightarrow{d}N(0,1)$$ $\sqrt{n\mu-\frac{\sigma^2}{4\mu}}-\sqrt{n\mu}\to 0$ comme .$n\to\infty$