Peut-on conclure de que sont indépendants?

Eh bien, nous ne pouvons pas, voir par exemple https://en.wikipedia.org/wiki/Subindependence pour un contre-exemple intéressant. Mais la vraie question est: existe-t-il un moyen de renforcer la condition pour que l'indépendance suive? Par exemple, existe-t-il un ensemble de fonctions sorte que si pour tout alors l'indépendance suit? Et, quelle taille doit avoir un tel ensemble de fonctions, infini? $g_1, \dotsc, g_n$ $\E g_i(X) g_j(Y) =\E g_i(X) \E g_j(Y)$ $i,j$

Et, en plus, y a-t-il une bonne référence qui traite cette question?

probability mathematical-statistics references random-variable independence kjetil b halvorsen
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avez-vous eu de la chance avec ça? Je serais ravi de voir s'il existe un ensemble fini de fonctions qui fonctionne pour n'importe quelle paire de véhicules récréatifs, et surtout la justification est autre chose que la factorisation CDF

juillet 2017

Je vais y jeter un œil! Je doute qu'il existe en général un ensemble fini, mais tout ensemble qui est la base d'un ensemble linéaire de fonctions devrait le faire (ainsi, par exemple, si ont tous deux des valeurs de alors un un ensemble de polynômes linéairement indépendantes (ou autres) devrait faire l'

X, Y

$X, Y$

0, 1, 2, \dots, n

$0,1,2,\dotsc,n$

n + 1

$n+1$

affaire

Réponses:

Soit un espace de probabilité. Par définition, deux variables aléatoires sont indépendantes si leurs -algèbres et sont indépendantes, c'est-à-dire nous avons . $(\Omega, \mathscr F, P)$ $X, Y :\Omega \to \mathbb R$ $\sigma$ $S_X := \sigma(X)$ $S_Y := \sigma(Y)$ $\forall A \in S_X, B \in S_Y$ $P(A \cap B) = P(A)P(B)$

Soit et prenons (merci à @grand_chat d'avoir souligné que suffit). On a alors et $g_a(x) = I(x \leq a)$ $G = \{g_a : a \in \mathbb Q\}$ $\mathbb Q$

E (g_{une} (X) g_{b} (Oui)) = E (je (X \leq une) je (Oui \leq b)) = E (je (X \leq une, Oui \leq b)) = P (X \leq une \cap Oui \leq b)

$E\left(g_a(X)g_b(Y)\right) = E(I(X \leq a)I(Y \leq b)) = E(I(X \leq a, Y \leq b)) = P(X \leq a \cap Y \leq b)$

E (g_{une} (X)) E (g_{b} (Oui)) = P (X \leq une) P (Oui \leq b) .

$E(g_a(X))E(g_b(Y)) = P(X \leq a)P(Y \leq b).$

Si nous supposons que alors nous pouvons faire appel au théorème à démontrer que ie . $\forall a, b \in \mathbb Q$

P (X \leq une \cap Oui \leq b) = P (X \leq une) P (Oui \leq b)

$P(X \leq a \cap Y \leq b) = P(X \leq a)P(Y \leq b)$

π - λ

$\pi-\lambda$

P (UNE \cap B) = P (UNE) P (B) \forall UNE \in S_{X}, B \in S_{Oui}

$P(A \cap B) = P(A)P(B) \hspace{5mm} \forall A \in S_X, B \in S_Y$

X ⊥ Y

$X \perp Y$

Donc, sauf erreur, nous avons au moins une collection dénombrable de ces fonctions et cela s'applique à toute paire de variables aléatoires définies sur un espace de probabilité commun.

jld
la source

Qu'avez-vous montré, en fait? Bien que vous ayez défini un nombre incalculable de fonctions, où avez-vous démontré qu'elles sont toutes nécessaires? Il est difficile d'imaginer qu'une telle quantité de fonctions serait nécessaire lorsque et ont chacun des ensembles finis de valeurs possibles, par exemple.

X

$X$

Y

$Y$

whuber

@whuber, j'essayais de répondre à la question de savoir s'il existe ou non une telle collection de fonctions. Je suis d'accord que l'aspect le plus intéressant est de trouver un tel ensemble minimal (sur lequel je travaille toujours)

juillet

Vous pouvez réduire à un ensemble dénombrable en considérant simplement rationnelle .

G

$G$

a

$a$

grand_chat

@grand_chat grand point, j'ai mis à jour

jld