À quoi sert la fonction de test dans l'analyse par éléments finis?

Dans l'équation d'onde:

c^{2} \nabla \cdot \nabla u (x, t) - \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} = f (x, t)

$c^2 \nabla \cdot \nabla u(x,t) - \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = f(x,t)$

Pourquoi multiplions-nous d'abord par une fonction de test $v(x,t)$ avant de l'intégrer?

finite-element Andy
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Réponse courte: Parce que la méthode des éléments finis est une discrétisation de la formulation faible, pas de la formulation forte (que vous avez donnée). Réponse moyenne: Parce que vous ne pouvez pas être sûr de trouver une fonction de dimension finie telle que l'équation soit satisfaite; au mieux, vous pouvez espérer que le résidu soit orthogonal à l'espace de solution de dimension finie - ou de manière équivalente, orthogonal à n'importe quel élément de cet espace (qui est précisément une fonction de test). L'intégration par parties n'est pas aussi importante, et dans votre cas par souci de symétrie. La réponse longue est trop longue pour un commentaire :)

Christian Clason

Une autre courte explication: si vous intégrez et mettez à zéro, vous demandez que la moyenne disparaisse - pas du tout ce que vous recherchez, car alors le résidu pourrait être très important dans une partie du domaine, tant que il est grand avec un signe opposé dans un autre. Les fonctions de test "localisent" essentiellement le résidu dans chaque élément.

Christian Clason

Pour une explication alternative, voir cette réponse: scicomp.stackexchange.com/questions/16331/…

Paul

Réponses:

Vous y arrivez à l'envers. La justification est mieux vue en partant du cadre variationnel et en travaillant vers la forme forte. Une fois que vous avez fait cela, le concept de multiplication par une fonction de test et d'intégration peut ensuite être appliqué aux problèmes où vous ne commencez pas avec un problème de minimisation.

Considérez donc le problème où nous voulons minimiser (et travailler de manière formelle et pas rigoureuse du tout ici):

I (u) = \frac{1}{2} \int_{Ω} (\nabla u (x))^{2} d x

$I(u) = \frac {1}{2} \int_\Omega (\nabla u(x))^2 \; dx$

sous réserve de certaines conditions aux limites sur . Si nous voulons que atteigne un minimum, nous devons le différencier par rapport à , qui est une fonction. Il existe plusieurs façons maintenant bien envisagées de considérer ce type de dérivé, mais l'une des façons dont il est introduit est de calculer $\partial\Omega$ $I$ $u$

I^{'} (u (x), v (x)) = lim_{h \to 0} \frac{d}{d h} I (u (x) + h v (x))

$I'(u(x),v(x))=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{d}{dh}I(u(x)+hv(x))$

où est juste un scalaire. Vous pouvez voir que cela est similaire à la définition traditionnelle d'un dérivé pour les fonctions scalaires d'une variable scalaire mais étendu aux fonctions fonctionnelles comme qui rendent les scalaires mais ont leur domaine sur les fonctions. $h$ $I$

Si nous calculons cela pour notre (en utilisant principalement la règle de chaîne), nous obtenons $I$

{je}^{'} (u, v) = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v ré X

$I'(u,v) = \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx$

En réglant cette valeur à zéro pour trouver le minimum, nous obtenons une équation qui ressemble à la déclaration faible de l'équation de Laplace:

\int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v ré X = 0

$\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx = 0$

Maintenant, si nous utilisons le Divergence Theorm (aka intégration multidimensionnelle par parties), nous pouvons prendre un dérivé de et le mettre sur pour obtenir $v$ $u$

- \int_{Ω} \nabla \cdot (\nabla u) v ré X + termes limites = 0

$-\int_\Omega \nabla \cdot (\nabla u) v \; dx + \text {boundary terms} = 0$

Maintenant, cela regarde vraiment où vous commencez lorsque vous voulez construire une déclaration faible à partir d'une équation différentielle partielle. Compte tenu de cette idée maintenant, vous pouvez l'utiliser pour n'importe quel PDE, simplement multiplier par une fonction de test, intégrer, appliquer le théorème de divergence, puis discrétiser.

Bill Barth
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Je préférerais l'expliquer en termes de minimisation du résidu pondéré.

nicoguaro

@nicoguaro, OK alors vous pouvez écrire cette réponse, et nous verrons laquelle a plus de sens pour OP. :)

Bill Barth

+1 pour avoir souligné que la forme faible est en fait (ou au moins souvent) plus naturelle que la forme forte.

Christian Clason

Intéressant. Une sorte de tangente, mais en ce qui concerne "Il existe maintenant plusieurs façons de considérer ce type de dérivé" : la seule méthode que j'ai apprise est celle que vous avez mentionnée. Quels autres types existe-t-il?

user541686

@Mehrdad Cette méthode calcule une dérivée directionnelle et vérifie qu'il s'agit d'un opérateur linéaire (en ) et donc d'un dérivé de Gâteaux. Vous pouvez également venir de l'autre sens: deviner un opérateur linéaire (par exemple, par analogie avec des fonctions réelles) et vérifier qu'il satisfait une sorte de propriété d'approximation de Taylor de premier ordre. Il s'agit alors d'un dérivé de Fréchet (et donc aussi d'un dérivé de Gâteaux).

h

$h$

Christian Clason

Comme je l'ai mentionné précédemment, je préfère considérer la forme faible comme un résidu pondéré.

Nous voulons trouver une solution approximative . Définissons le résiduel comme $\hat{u}$

R = c^{2} \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^{2} \hat{u}}{\partial t^{2}} - F (X, t)

$R = c^2 \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^2 \hat{u}}{\partial t^2} - f(x,t)$

pour le cas de la solution exacte, le résidu est la fonction zéro sur le domaine. Nous voulons trouver une solution approximative qui soit "bonne", c'est-à-dire qui rend "petit". Ainsi, nous pouvons essayer de minimiser la norme du résiduel (méthodes des moindres carrés, par exemple), ou une moyenne de celui-ci. Une façon de le faire est de calculer le résidu pondéré, c'est-à-dire de minimiser le résidu pondéré $R$

\int_{Ω} w R ré Ω

$\int\limits_\Omega wR d\Omega$

une chose importante à ce sujet est qu'il définit une fonction, vous pouvez donc la minimiser. Cela peut fonctionner pour les fonctions qui n'ont pas de forme variationnelle. Je décris un peu plus dans ce post . Vous pouvez choisir la fonction de différentes manières, comme être du même espace que la fonction (méthodes de Galerkin), les fonctions delta de Dirac (méthodes de collocation), ou une solution fondamentale (méthode des éléments de frontière). $w$ $\hat{u}$

Si vous sélectionnez le premier cas, vous vous retrouverez avec une équation comme celle décrite par @BillBarth.

nicoguaro
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