Stratégie optimale pour un jeu d'état quantique

Considérez le jeu suivant:

Je lance une bonne pièce, et selon le résultat (soit tête / queue), je vais vous donner l'un des états suivants:

$$|0\rangle \text{ or } \cos(x)|0\rangle + \sin(x)|1\rangle.$$

Ici, $x$ est un angle constant connu. Mais, je ne vous dis pas quel état je vous donne.

Comment puis-je décrire une procédure de mesure (c'est-à-dire une base de qubit orthonormée) pour deviner quel état me donne, tout en maximisant les chances d'avoir raison? Existe-t-il une solution optimale?

J'ai auto-étudié l'informatique quantique et je suis tombé sur cet exercice. Je ne sais même pas vraiment comment commencer, et j'apprécierais vraiment de l'aide.

Je pense qu'une bonne stratégie serait de réaliser une transformation orthogonale avec

$$\begin{bmatrix} \cos(x) & -\sin(\theta)\\ \sin(x) & \cos(\theta) \end{bmatrix}.$$

Je ne peux pas faire beaucoup de progrès ...

Nous traduisons simplement le résultat binaire d'une mesure de qubit à notre estimation si c'est le premier état ou le second, calculons la probabilité de succès pour chaque mesure possible du qubit, puis trouvons plus le maximum d'une fonction de deux variables (sur la deux sphères).

Tout d'abord, quelque chose dont nous n'aurons pas vraiment besoin, la description précise de l'état. L'état complet du système qui dépend à la fois des superpositions et d'une pièce de monnaie classique peut être codé dans la matrice de densité

$$\rho = \frac 12 \pmatrix{1&0\\0&0} + \frac 12 \pmatrix{\cos^2x &\sin x \cos x\\ \sin x\cos x & \sin^2 x}$$ où la colonne de gauche et la ligne supérieure correspondent à l'état de base "zéro" et les autres à "un". Il est utile de réécrire la matrice de densité en termes de base à 4 éléments desmatrices$2\times 2$, $$\rho = \frac 12+ \frac{\sin x \cos x}{2} \sigma_x + \left(\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{4}+\frac 14\right) \sigma_z$$ Cela peut être écrit en termes d'angle$2x$: $$\rho = \frac 12 + \frac {\sin 2x}{4} \sigma_x + \frac{\cos 2x +1}{4} \sigma_z$$ Maintenant, quel que soit l'état mixte, il s'agit toujours d'un système à deux niveaux et toutes les mesures sur l'espace de Hilbert bidimensionnel sont soit triviales (mesures d'unnombre$c$) soit équivalentes à la mesure du spin le long d'un axe, c'est-à-dire les mesures de $$V = \vec n \cdot \vec \sigma$$ qui est un vecteur 3D unitaire multiplié par le vecteur des matrices de Pauli. OK, que se passe-t-il si nous mesurons$V$? Les valeurs propres de$V$sont plus un ou moins un. La probabilité de chaque peut être obtenuepartirla valeur moyenne de$V$qui est $$\langle V \rangle = {\rm Tr} (V \rho)$$ Les traces de produits ne contribuent que si$1$ rencontre$1$ (mais nous supposons qu'il n'y avait pas de terme dans$V$ ) ou si$\sigma_x$ rencontre$\sigma_x$ etc., auquel cas la trace de la matrice donne un facteur supplémentaire de 2. Donc nous ont $$\langle V \rangle = \frac{\sin 2x}{2}n_x + \frac{\cos 2x +1}{2} n_z$$ Nous obtenons la valeur propre$\pm 1$avec les probabilités$(1\pm\langle V \rangle) / 2$, respectivement. Exactement quand$\cos x = 0$, les deux premiers états « detête etqueue » sont orthogonales entre elles (essentiellement$|0\rangle$et$|1\rangle$) et nous pouvons pleinement les distinguer. Pour rendre les probabilités$0,1$, il faut simplement choisir$\vec n=(0,0,\pm 1)$ ; notez que le signe global de$\vec n$ n'a pas d'importance pour la procédure.

Maintenant, pour $\cos x \neq 0$ , les états sont non orthogonaux, c'est-à-dire "non mutuellement exclusifs" au sens quantique et nous ne pouvons pas mesurer directement si la pièce était des queues ou des têtes parce que ces possibilités étaient mélangées dans la matrice de densité. En fait, la matrice de densité contient toutes les probabilités de toutes les mesures, donc si nous pouvions obtenir la même matrice de densité par un mélange différent d'états possibles à partir de lancers de pièces, les états du qubit seraient strictement indiscernables.

$\cos x\neq 0$$V=\pm 1$

$$(V = +1) \to |i\rangle = |0\rangle \\ $$ $$(V = -1) \to |i\rangle = \cos x |0\rangle + \sin x |1 \rangle.$$ $V$$\vec n \to -\vec n$

$+1$$-1$

$$P_{\rm success} = P(H) P(+1|H) + P(T) P(-1|T).$$ $P(H)=P(T)=1/2$$P(-1|T)$$(1-\langle V\rangle) / 2$$n_z$ $$P(-1|T ) = \frac 12 - \sin 2x \frac{ n_x}2 - \cos 2x \frac{ n_z}2$$ $x=0$$x=0$ $$P(-1|H) = \frac{1-n_z}{2}$$ $1-P$ $$P(+1|H) = \frac{1+n_z}{2}$$ $$P_{\rm success} = \frac{1+n_z +1 - (\sin 2x)n_x - (\cos 2x)n_z}{4}$$ $$P_{\rm success} = \frac 12 - \frac{n_x}4 \sin 2x + \frac{n_z}{4} (1-\cos 2x )$$ $(n_x,n_z)=(-\cos \alpha,-\sin\alpha)$ $$P_{\rm success} = \frac 12 +\frac{\sin(2x+\alpha)-\sin \alpha}{4} =\frac 12+\frac{\sin x \cos(x+\alpha)}{2}$$ $\alpha$$\cos(x+\alpha)=\pm 1$$\sin x$$\alpha=-x$$\alpha=\pi -x$ $$P_{\rm success} = \frac{1+|\sin x|}{2}$$

$\sigma_z$$xz$$x$$\pi/2$$\sigma_z$$(3-\cos 2x)/4$$x=0+\epsilon$$1/2+|x|/2$$1/2$$1/2+x^2/2$

Pendant de nombreuses heures, une mauvaise réponse (une erreur dans les dernières parties) a été publiée ici, malgré le fait que j'avais précédemment corrigé de nombreux mauvais facteurs de deux. J'ai publié une version légèrement modifiée de cette réponse sur mon blog où des discussions peuvent avoir lieu:

Le référentiel: un problème simple et amusant en informatique quantique

Sur cette page, j'écris également les états propres de l'opérateur mesuré en annexe. Les arguments dans les angles peuvent être surprenants pour certaines personnes qui pensent que ce problème est évident en termes de fonctions d'onde ou que les fonctions d'onde après la mesure doivent être simples.

La clé réside dans la stratégie optimale pour distinguer deux états non orthogonaux. C'est ce qu'on appelle la mesure de Helstrom, que j'ai décrite ici .