Comment la mesure d'un qubit affecte-t-elle les autres?

Pour représenter l'état d'un ordinateur quantique, tous les qubits contribuent à un vecteur d'état (c'est l'une des principales différences entre l'informatique quantique et classique si je comprends bien). Ma compréhension est qu'il est possible de mesurer un seul qubit sur un système de plusieurs qubits. Comment la mesure de ce qubit affecte-t-elle l'ensemble du système (en particulier, comment affecte-t-elle le vecteur d'état)?

Il existe de nombreuses façons différentes d'examiner les qubits, et le formalisme des vecteurs d'État n'en est qu'une. Dans un sens général algébrique linéaire, une mesure est une projection sur une base. Ici, je vais donner un aperçu d'un exemple du point de vue observable de Pauli, qui est le modèle de circuit habituel du QC.

Tout d'abord, il est intéressant de savoir dans quelle base le vecteur d'état est fourni - chaque opérateur de mesure est livré avec un ensemble d'états propres et quelles que soient les mesures que vous regardez (par exemple , $X,Y,Z, XX, XZ$ , etc.) déterminez la base qui vous convient le mieux pour écrire le vecteur d'état. La façon la plus simple de répondre à votre question est de savoir quelle base vous intéresse et, plus important encore, si elle commute avec la mesure que vous venez de faire .

Donc, par souci de simplicité, disons que vous commencez avec deux qubits couplés dans un état arbitraire écrit dans la base $Z$ pour les deux qubits:

$$| \psi \rangle = a | 0_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle +b | 0_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle + c | 1_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle + d | 1_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle$$

Les mesures les plus simples possibles que vous pourriez faire seraient , c'est-à-dire l' opérateur Z sur le premier qubit, suivi de Z 2 , l' opérateur Z sur le deuxième qubit. Que fait la mesure? Il projette l'État dans l'un des états propres. Vous pouvez penser que cela élimine toutes les réponses possibles qui ne correspondent pas à celle que nous venons de mesurer. Par exemple, disons que nous mesurons Z 1 et obtenons le résultat 1 , alors l'état résultant que nous aurions serait:$Z_{1}$$Z$$Z_{2}$$Z$$Z_{1}$$1$

$$| \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{|c|^{2} +|d|^{2}}} \left(c | 1_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle + d | 1_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle \right)$$

Notez que le coefficient à l'avant est juste pour la renormalisation. Donc, notre probabilité de mesurer est $Z_{2}=0$. Notez que ceci est différent de la probabilité que nous avions dans l'état initial, qui était| a| 2+| c| 2.$\frac{1}{|c|^{2} +|d|^{2}} |c^{2}|$$|a|^{2}+|c|^{2}$

Supposons cependant que la mesure suivante que vous effectuez ne commute pas avec la précédente. C'est plus délicat car il faut implémenter un changement de base sur le vecteur d'état pour comprendre les probabilités. Avec les mesures de Pauli, cependant, cela a tendance à être facile car les bases propres sont liées de manière agréable, c'est-à-dire:

$$| 0_{Z} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0_{X}\rangle + |1_{X} \rangle )$$

$$| 1_{Z} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0_{X}\rangle - |1_{X} \rangle )$$

Une bonne façon de vérifier votre compréhension: Quelle est la probabilité de mesurer après la mesure Z 1 = 1 ci-dessus? Quelle est la probabilité si nous n'avons pas effectué la mesure Z 1 ? Ensuite, une question plus compliquée consiste à examiner les opérateurs de produits qui agissent sur les deux qubits à la fois, par exemple, comment une mesure de Z 1 Z 2 = + 1 affecte-t-elle l'état initial? Ici Z 1 Z 2 mesure le produit des deux opérateurs.$X= +1$$Z_{1}=1$$Z_{1}$$Z_{1}Z_{2}=+1$$Z_{1}Z_{2}$

Supposons que, avant la mesure, votre système à bits soit dans un état | ψ ⟩ ∈ H ⊗ n 2 , où H 2 ≅ C 2 est l'espace de Hilbert d'un seul qubit. Écrire | ψ ⟩ = Σ x ∈ { 0 , 1 } n u x | x ⟩ pour certains coefficients u x ∈ C tel que Σ x | u x | 2$n$$\lvert \psi \rangle \in \mathcal H_2^{\otimes n}$$\mathcal H_2 \cong \mathbb C^2$

$$\lvert \psi \rangle = \sum_{x \in \{0,1\}^n} u_x \lvert x \rangle$$ $u_x \in \mathbb C$ .$\sum_x \lvert u_x \rvert^2 = 1$

• Si vous mesurez le premier qubit dans la base standard, définissez et soit| ψ0⟩=| φ0⟩

  $$\begin{aligned} \lvert \varphi_0 \rangle &= \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! u_{0x'} \,\lvert0\rangle \lvert x' \rangle, \\ \lvert \varphi_1 \rangle &= \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! u_{1x'} \,\lvert1\rangle \lvert x' \rangle,\end{aligned}$$ $\lvert \psi_0 \rangle = \lvert \varphi_0 \rangle \big/\! \sqrt{\langle \varphi_0 \vert \varphi_0 \rangle}\,$ et $\,\lvert \psi_1 \rangle = \lvert \varphi_1 \rangle \big/\! \sqrt{\langle \varphi_1 \vert \varphi_1 \rangle}\,$. Il n'est pas trop difficile de montrer que, si vous mesurez le premier qubit et obtenez l'état , l'état du système entier « affaisse » à | ψ 0 ⟩ , et si vous obtenez | 1 ⟩ ce que vous obtenez est | ψ 1 ⟩ .$\lvert 0 \rangle$$\lvert \psi_0 \rangle$$\lvert 1 \rangle$$\lvert \psi_1 \rangle$

  Ceci est largement analogue à l'idée de distributions de probabilités conditionnelles: vous pourriez penser à comme l'état du système conditionné au premier être qubit | 0 ⟩ , et | ψ 1 ⟩ que l'état du système conditionné au premier être qubit | 1 ⟩ (sauf bien sûr que l'histoire est un peu plus compliquée, en raison du fait que le premier qubit n'est pas « secret » , soit dans l'état 0 ou 1 ).$\lvert \psi_0 \rangle$$\lvert 0 \rangle$$\lvert \psi_1 \rangle$$\lvert 1 \rangle$$0$$1$

• Ce qui précède ne dépend pas fortement de la mesure du premier qubit: nous pouvons définir et | φ 1 ⟩ en termes de fixation un bit particulier dans la chaîne de bits x soit 0 ou 1 , la somme sur uniquement les composants qui sont compatibles avec soit le choix 0 ou 1 , et en procédant comme ci - dessus.$\lvert \varphi_0 \rangle$$\lvert \varphi_1 \rangle$$x$$0$$1$$0$$1$

• Ce qui précède ne dépend pas non plus fortement de la mesure dans la base standard, comme Emily l'indique. Si nous souhaitons envisager de mesurer le premier qubit dans la base , où | α ⟩ = α 0 | 0 ⟩ + α 1 | 1 ⟩ et | β ⟩ = β 0 | 0 ⟩ + β 1 | 1 ⟩ , nous définissons | φ 0$\lvert \alpha \rangle, \lvert \beta \rangle$$\lvert \alpha \rangle = \alpha_0 \lvert 0 \rangle + \alpha_1 \lvert 1 \rangle$$\lvert \beta \rangle = \beta_0 \lvert 0 \rangle + \beta_1 \lvert 1 \rangle$ puis en procédant comme ci-dessus.

  $$\begin{aligned} \lvert \varphi_0 \rangle &= \Bigl(\lvert \alpha \rangle\!\langle \alpha \lvert \otimes I^{\otimes n-1}\Bigr)\lvert \psi\rangle = \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! \bigl(\alpha_0^\ast u_{0x'} + \alpha_1^\ast u_{1x'}\bigr) \,\lvert\alpha\rangle \lvert x' \rangle\,, \\ \lvert \varphi_1 \rangle &= \Bigl(\lvert \beta\rangle\!\langle \beta \lvert \otimes I^{\otimes n-1}\Bigr)\lvert \psi\rangle = \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! \bigl(\beta_0^\ast u_{0x'} + \beta_1^\ast u_{1x'}\bigr) \,\lvert\beta\rangle \lvert x' \rangle\,, \end{aligned}$$

Moins formellement déclaré que les autres réponses, mais pour les débutants, j'aime la méthode intuitive décrite par le professeur Vazirani dans cette vidéo .

Supposons que vous ayez un état général à deux qbits:

$|\psi\rangle = \begin{bmatrix} \alpha_{00} \\ \alpha_{01} \\ \alpha_{10} \\ \alpha_{11} \end{bmatrix} = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle + \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle$

Maintenant , supposons que vous mesurez qbit le plus significatif (plus à gauche) dans la base de calcul (comme dans le réduire soit ou | 1 ⟩ ). Il y a deux questions que nous pourrions poser:$|0\rangle$$|1\rangle$

1. Quelle est la probabilité que le qbit mesuré s'effondre pour ? Qu'en est-il | 1 ⟩ ?$|0\rangle$$|1\rangle$
2. Quel est l'état du système à 2 qbit après la mesure?

Pour la première question, la réponse intuitive est la suivante: prenez la somme des carrés de toutes les amplitudes associées à la valeur pour laquelle vous souhaitez trouver la probabilité d'effondrement. Donc, si vous voulez connaître la probabilité que le qbit mesuré s'effondre en , vous regarderais les amplitudes associées aux cas | 00 ⟩ et$|0\rangle$$|00\rangle$ , car ce sont les cas où la mesure est qbit | 0 ⟩ . Donc:$|01\rangle$$|0\rangle$

$P[|0\rangle] = |\alpha_{00}|^2 + |\alpha_{01}|^2$

$|1\rangle$$|10\rangle$$|11\rangle$

$P[|1\rangle] = |\alpha_{10}|^2 + |\alpha_{11}|^2$

Quant à l'état du système à 2 qbit après la mesure, ce que vous faites est de rayer toutes les composantes de la superposition qui ne correspondent pas à la réponse que vous avez obtenue. Donc, si vous avez mesuré$|0\rangle$, alors l'état après la mesure est:

$\require{cancel} |\psi\rangle = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle + \cancel{\alpha_{10}|10\rangle} + \cancel{\alpha_{11}|11\rangle} = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle$

However, this state is not normalized - the sum of squares does not add up to 1, and so you have to normalize it:

$|\psi\rangle = \frac{\alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle}{\sqrt{|\alpha_{00}|^2 + |\alpha_{01}|^2}}$

Similarly, if you measured $|1\rangle$ then you'd get:

$\require{cancel} |\psi\rangle = \cancel{\alpha_{00}|00\rangle} + \cancel{\alpha_{01}|01\rangle} + \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle = \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle$

Normalized:

$|\psi\rangle = \frac{\alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle}{\sqrt{|\alpha_{10}|^2 + |\alpha_{11}|^2}}$

And that's how you calculate the action of measuring one qbit in a multi-qbit state, in the simplest case!