Les états quantiques sont des vecteurs unitaires… par rapport à quelle norme?

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La définition la plus générale d'un état quantique que j'ai trouvée est (reformulant la définition de Wikipedia )

Les états quantiques sont représentés par un rayon dans un espace de Hilbert de dimension finie ou infinie sur les nombres complexes.

De plus, nous savons que pour avoir une représentation utile, nous devons nous assurer que le vecteur représentant l'état quantique est un vecteur unitaire .

Mais dans la définition ci-dessus, ils ne précisent pas la norme (ou le produit scalaire) associée à l'espace de Hilbert considéré. À première vue, je pensais que la norme n'était pas vraiment importante, mais j'ai réalisé hier que la norme était partout choisie pour être la norme euclidienne (norme 2). Même la notation bra-ket semble être faite spécifiquement pour la norme euclidienne.

Ma question: pourquoi la norme euclidienne est-elle utilisée partout? Pourquoi ne pas utiliser une autre norme? La norme euclidienne a-t-elle des propriétés utiles qui peuvent être utilisées en mécanique quantique que d'autres n'ont pas?

quantum-state notation unitarity mathematics Nelimee
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En fait, je voulais juste ajouter un commentaire, mais je n'ai pas la réputation de le faire: notez que, comme vous l'écrivez dans votre question - les états quantiques sont des rayons dans l'espace de Hilbert. Cela signifie qu'ils ne sont pas normalisés, mais plutôt que tous les vecteurs de l'espace de Hilbert qui pointent dans la même direction sont équivalents. Il est plus pratique de travailler avec des états normalisés, mais la physique est en réalité cachée dans le chevauchement des états les uns avec les autres. C'est pour cette raison qu'aucune norme n'est présente dans la définition d'un État.

Omri Har-Shemesh

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La règle de Born stipule que qui est la probabilité de trouver le système quantique dans l'état après une mesure. Nous avons besoin que la somme (ou intégrale!) Sur tout soit 1: $|\psi(x)|^2 = P(x)$ $|x\rangle$ $x$

\begin{aligned} \sum_{x} P_{x} & = \sum_{x} | ψ_{x} |^{2} = 1, \\ \int P (x) d x & = \int | ψ (x) |^{2} d x = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \sum_x P_x &= \sum_x |\psi_x|^2 = 1,\\ \int P(x)dx &= \int |\psi(x)|^2 dx= 1. \end{align}$

Aucune de ces normes n'est valable car elles ne sont pas homogènes . Vous pouvez les rendre homogènes simplement en faisant la racine carrée:

\begin{aligned} \sqrt{\sum_{x} | ψ_{x} |^{2}} = 1, \\ \sqrt{\int | ψ (x) |^{2} d x} = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{\sum_x |\psi_x|^2} = 1,\\ \sqrt{\int |\psi(x)|^2dx} = 1. \end{align}$

et vous pouvez reconnaître cela comme la norme euclidienne et une généralisation de la norme euclidienne à un domaine non discret. Nous pourrions également utiliser une norme différente:

\begin{aligned} \sqrt{\sum_{x} ψ_{x} A ψ_{x}^{*}} = 1, \\ \sqrt{\int ψ (x) A ψ^{*} (x)} = 1, \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{\sum_x \psi_x A \psi_x^*} = 1,\\ \sqrt{\int \psi(x)A\psi^*(x)} = 1, \end{align}$

pour une certaine matrice / fonction définie positive A.

Cependant une normale avec ne serait pas aussi utile car par exemple: $p$ $p>2$

\begin{aligned} \sqrt[5]{\sum_{x} | ψ_{x} |^{5}} \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt[5]{\sum_x |\psi_x|^5} \\ \end{align}$

ne doit pas nécessairement être 1.

De cette façon, la norme euclidienne est spéciale parce que 2 est la puissance dans la règle de Born, qui est l'un des postulats de la mécanique quantique.

user1271772
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Cette réponse est liée à mon commentaire sur celui de @ DaftWullie . Donc, la norme euclidienne est utilisée parce que le postulat de mesure nous dit que c'est la seule norme

qui est valide?

p

$p$

Nelimee

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C'est la seule norme p qui a un sens. Nous voulons que la somme des probabilités soit 1 (qui est une loi des mathématiques) et les probabilités sont définies par le carré de la fonction d'onde (qui est un postulat de la mécanique quantique appelé règle de Born).

user1271772

@Nelimee: Merci pour votre message sur le chat. Je ne peux pas répondre car je ne suis plus autorisé à chatter pendant 2 jours supplémentaires. La raison de la première réponse était parce que j'ai lu vos questions "Pourquoi la norme euclidienne est-elle utilisée partout? Pourquoi ne pas utiliser une autre norme?" et a immédiatement considéré un cas où une norme valide n'est pas la norme euclidienne mais une norme 2 différente, qui est une norme 2 sur un ensemble de variables non discrètes. J'ai pensé que cela suffisait à expliquer que la norme euclidienne n'est pas la seule norme valide, et pourquoi la norme euclidienne est utilisée lorsqu'elle l'est. Mais quand j'ai remarqué que daftwullie a obtenu le vote positif et je ne l'ai pas fait, je

user1271772

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donc votre réponse est "à cause de la règle de Born"? Cela ne déplace-t-il pas simplement la question «pourquoi la règle de Born utilise-t-elle le pouvoir de 2?»?

DaftWullie

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On dirait "qu'est-ce qui est arrivé en premier, le poulet ou l'œuf?" Cas.

user1271772

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Certaines terminologies semblent un peu brouillées ici. Les états quantiques sont représentés (dans un espace de Hilbert de dimension finie) par des vecteurs complexes de longueur 1, où la longueur est mesurée par la norme euclidienne. Ils ne sont pas unitaires, car unitaires est une classification d'une matrice, pas un vecteur.

Les états quantiques sont modifiés / évolués selon une matrice. Étant donné que les états quantiques ont une longueur de 1, il s'avère nécessaire et suffisant que les cartes des états purs aux états purs soient décrites par des matrices unitaires. Ce sont les seules matrices qui préservent la norme (euclidienne).

$p$ $p\neq 2$

$p$ $p=2$ $p=1$ $p\rightarrow\infty$ $\pi/2$

Si vous voulez plus de détails, vous voudrez peut-être regarder ici .

DaftWullie
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Merci pour les précisions terminologiques! Vous avez raison, j'ai mal utilisé les termes.

Nelimee

Cependant, la question est correcte tant que vous remplacez "unitary" par "unit vector"

user1271772

Mais cette réponse ne répond pas pourquoi nous utilisons la norme euclidienne. J'ai compris que les autres normes ne sont pas pratiques, mais nous n'avons pas vraiment le contrôle sur ce qui est "pratique" dans les lois de la physique et ce qui ne l'est pas, n'est-ce pas?

Nelimee

@Nelimee Ce n'est pas gênant. C'est que beaucoup d'opérations n'existent pas si vous n'utilisez pas la norme 2. Opérations telles que la racine carrée de non, que nous pouvons sortir, faire une expérience et observer. Donc, cela exclut tout sauf la norme 2

DaftWullie

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comme avec toute la physique! Toutes les théories sont celles qui correspondent le mieux aux données disponibles.

DaftWullie

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$\mathbb{R}^n$ $L^p$ $p=2$

Federico Poloni
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J'ai voté pour votre réponse (ce qui est une excellente première réponse au QCSE!), Mais doit-il s'agir d'une norme à 2? Vous dites que la norme 1 et la norme 3 ne sont pas valides, mais qu'en est-il de la norme dans ma réponse, qui est le carré de la norme 2?

user1271772

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@ user1271772 Merci! Si je comprends bien, la fonction que vous proposez n'est même pas une norme vectorielle car elle n'est pas homogène.

Federico Poloni

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L^{2}

$L^2$

L^{p}

$L^p$

A

$A$

‖ x ‖_{A} := \sqrt{x^{*} A x}

$\|x\|_A:=\sqrt{x^*Ax}$

il est positif homogène avec , pourquoi doit-il être avec ?

k = 2

$k=2$

k = 1

$k=1$

user1271772

@ user1271772 est une exigence dans la définition. L'un des axiomes des normes vectorielles est 2. p (av) = | a | p (v) (étant absolument homogène ou absolument évolutif) (vérifiez, pour une référence rapide, cette page Wikipedia que j'ai liée ci-dessus). Bien sûr, ce n'est qu'un argument tautologique "parce que c'est défini de cette façon", et je comprends qu'un physicien peut vouloir une raison plus physique.

k = 1

$k=1$

Federico Poloni

4

Un argument élégant peut être dérivé en demandant quelles théories pouvons-nous construire qui sont décrites par les vecteurs , où les transformations autorisées sont des cartes linéaires , les probabilités sont donnée par une certaine norme, et les probabilités doivent être préservées par ces cartes. $\vec v = (v_1,\dots,v_N)$ $\vec v\to L\vec v$

Il s'avère qu'il n'y a essentiellement que trois options:

Théories déterministes. Ensuite, nous n'avons pas besoin de ces vecteurs, car nous sommes toujours dans un état spécifique, c'est-à-dire que les vecteurs sont et similaires, et les ne sont que des permutations. $(0,1,0,0,0)$ $L$
Théories probabilistes classiques. Ici, nous utilisons les cartes normales et stochastiques. Les sont des probabilités. $1$ $v_i$
Mécanique quantique. Ici, nous utilisons les transformations normales et unitaires. Les sont des amplitudes. $2$ $v_i$

Ce sont les seules possibilités. Pour d'autres normes, aucune transformation intéressante n'existe.

Si vous voulez une explication plus détaillée et agréable de cela, "Quantum Computing since Democritus" de Scott Aaronson a une conférence à ce sujet , ainsi qu'un article .

Norbert Schuch
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2

Les autres réponses expliquaient pourquoi en termes d' espace à utiliser, mais pas la pondération. $p=2$ $L^p$

$M_{ij}$ $\sum x_i^* M_{ij} y_j$ $M$ $M_{ii} \mid x_i \mid^2$ $\mid x_i \mid^2$ $M_{ii}>0$ $\tilde{x}_i = \sqrt{M_{ii}} x_i$ $L^2$ $n$ $M_{ii}$

$L^2 (\mathbb{R} , w(x) dx)$ $w(x)$ $x \to x+a$ $w(x)$ $w(x)$ $w(x) \neq 1$

Dans certains cas, il est utile de ne pas passer au formulaire standard. Il mélange la façon dont vous effectuez certains calculs. Par exemple, si vous effectuez des calculs numériques, vous pouvez réduire vos erreurs par ce type de remaniement pour éviter les nombres vraiment petits ou grands que votre machine trouve difficiles.

$\sqrt{M_{ii}}$

AHusain
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-1

La norme euclidienne sur un espace à dimensions, telle que définie ici , n'est pas la seule norme utilisée pour les états quantiques. $n$

$\psi_i(x)$

\int ψ_{i} (x) ψ_{j}^{*} (x) d x .

$\int \psi_i(x)\psi_j^*(x)dx.$

$i=j$

\int | ψ (x) |^{2} d x = \int P (x) d x = 1,

$\int |\psi(x)|^2dx = \int P(x)dx = 1,$

$i\ne j$

$n$ $n$ $x$ $n$

$\int P(x)dx=1$ $x$ $P(x)$ de probabilité. Si vous aviez une autre norme qui peut garantir que toutes les lois de la théorie des probabilités sont satisfaites, vous seriez également en mesure d'utiliser cette norme.

user1271772
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@Nelimee: Je ne peux pas répondre à votre message de discussion "Je n'ai pas obtenu le point de votre réponse avec 0 votes" parce que je suis interdit de discussion pendant 2 jours de plus, mais quelle partie de cette réponse ne recevez-vous pas?

user1271772

@Nelimee? Je suis maintenant à -1, j'apprécierais donc de savoir quelle partie n'était pas claire

user1271772

Ce que vous écrivez n'est que la norme euclidienne aux dimensions infinies. Votre déclaration "La norme euclidienne sur un espace à n dimensions, telle que définie ici, n'est pas la seule norme utilisée pour les états quantiques." est trompeur au point de se tromper.

Norbert Schuch

@Norbert. (1) c'est le CARRÉ de la norme euclidienne. (2) la voici infiniment infinie. Il n'est plus à n dimensions même pour n infiniment dénombrable.

user1271772

1

$1$

1

$1$

L^{2} (R^{n})

$L^2(\mathbb R^n)$

Les états quantiques sont des vecteurs unitaires… par rapport à quelle norme?

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