Alternative à la sphère de Bloch pour représenter un qubit unique

Afin de représenter le qubit unique $|\psi\rangle$ on utilise un vecteur unitaire dans un $\mathbb{C}^2$ l' espace de Hilbert dont le ( l' un des) Base orthonormée est $(|0\rangle, |1\rangle)$ .

Nous pouvons dessiner $|\psi\rangle$ en utilisant une balle Bloch . Cependant, j'ai trouvé cette notation assez déroutante, car les vecteurs orthogonaux sont spatialement antiparallèles ( brève explication dans cette question d'échange de pile de physique ).

Connaissez-vous une représentation graphique différente pour un seul qubit?

Dans le lien inclus dans votre question, sur une autre question écrite par user098876, "Comprendre la sphère Bloch", Daniel fait un commentaire utile:

"Dessiner des points sur la sphère pour représenter l'état d'un système quantique à deux niveaux ne signifie pas que vous devriez considérer ces points comme de véritables vecteurs dans l'espace 3D. - DanielSank 3 sept. 15 à 20:17".

Explication simplifiée: c'est un plan à deux côtés (ou deux plans) projeté sur une sphère.

"J'ai trouvé cette notation assez déroutante, car les vecteurs orthogonaux sont spatialement antiparallèles ( brève explication dans cette question d'échange de pile de physique ). Connaissez-vous une représentation graphique différente pour un qubit unique?"

Un certain nombre d'efforts sont en cours pour fournir une représentation plus générale qui s'étend des qubits aux qudits. Cette explication et représentation utilisant une sphère Majorana n'est pas si différente , c'est toujours une sphère, mais c'est peut-être moins déroutant:

Pour les qubits sur une sphère Majorana, voir: "Les états N-qubit comme points sur la sphère Bloch ".

"Résumé. Nous montrons comment la représentation Majorana peut être utilisée pour exprimer les états purs d'un système N-qubit ... En conclusion, la représentation Majorana est utile lorsque les particules spin- sont étudiées, tandis que la représentation alternative est préférable lorsque le Les états d'un système à N bits sont discutés. En plus d'aider à visualiser les états à N bits et la façon dont ils se transforment en rotations et autres opérations, cette dernière représentation peut également aider à identifier certains états spéciaux à N bits, comme la représentation Majorana l'a fait dans le contexte des condensats du spineur Bose-Einstein. ".$S$$N$$N$$N$

Voir: " Représentation Majorana, espace Hilbert qutrit et implémentation RMN des portes qutrit ":

Page 1:

"La sphère de Bloch fournit une représentation des états quantiques d'un qubit unique sur (une sphère unitaire en trois dimensions réelles), avec des états purs mappés sur la surface et les états mixtes se trouvant à l'intérieur. Cette représentation géométrique est utile dans fournissant une visualisation des états quantiques et de leurs transformations, en particulier dans le cas du calcul quantique basé sur la RMN, où le spin- 1$\mathcal S^2$$\frac{1}{2}$ magnétisation 2 et sa transformation par impulsions RMN rf sont visualisées sur la sphère Bloch. Il y a eu plusieurs propositions pour la représentation géométrique des systèmes quantiques de niveau supérieur, cependant, l'extension d'une image de type sphère de Bloch à des spins supérieurs n'est pas simple. Une représentation géométrique a été proposée par Majorana dans laquelle, un état pur d'un spin '' est représenté pardes points'2s' à la surface d'une sphère unitaire, appelée la sphère Majorana.$s$$_s$

La représentation Majorana pour les systèmes a trouvé des applications étendues telles que la détermination de phase géométrique de tours, ce qui représente N spinors par N points de représentation géométrique états intriqués multi-qubit, statistiques des systèmes dynamiques quantiques chaotiques et la caractérisation de la lumière polarisée. Un seul qutrit (système quantique à trois niveaux) est particulièrement important dans les schémas informatiques quantiques basés sur qudit ( système quantique à niveau d ). Un qutrit est le plus petit système qui présente des caractéristiques quantiques inhérentes telles que la contextualité, qui a été conjecturée pour être une ressource pour l'informatique quantique . Le calcul quantique RMN qudit peut être effectué en utilisant des noyaux avec des spins s> 1$s$$N$$N$$d$$\frac{1}{2}$ ou peut être modélisé par deux ou plusieurs spin couplés-$\frac{1}{2}$ noyaux. Dans ce travail, nous utilisons la description de la sphère Majorana d'un seul qutrit, où les états d'un qutrit sont représentés par une paire de points sur une sphère unitaire, pour fournir des informations sur l'espace d'état qutrit.

Page 5:

La magnitude du vecteur de magnétisation → M | dans un ensemble pur d'un seul qutrit peut prendre des valeurs dans la plage [ 0 , 1 ] . Au contraire, l'ensemble pur d'un qubit possède toujours la grandeur unitaire du vecteur de magnétisation qui lui est associé$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$ . L'image géométrique du vecteur de magnétisation simple qutrit est fournie par la représentation Majorana. La valeur → M | dépend de la longueur de la bissectrice O O ' et se situe le long du $\vert-$$\vec{M}$$\vert$$OO'$$z$-axis et est invariant en rotation. Correspondant ainsi à une valeur donnée de la longueur de la bissectrice, on peut supposer des sphères concentriques à rayons variant continuellement, dont les surfaces sont les surfaces d'aimantation constante. Les rayons de ces sphères sont égaux à → M | , qui varient dans la plage [ 0 , 1 ] .$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$

Page 10:

REMARQUES FINALES

Une représentation géométrique d'un qutrit est décrite dans ce travail, dans laquelle les états de qutrit sont représentés par deux points sur une sphère unitaire selon la représentation Majorana. Une paramétrisation des états à un seul qutrit a été obtenue pour générer des états arbitraires à partir d'une famille à un paramètre des états canoniques via l'action des transformations . Le vecteur de magnétisation spin- 1 était représenté sur la sphère Majorana et les états étaient identifiés comme «pointant» ou «non pointant» selon la valeur zéro ou non nulle de la magnétisation de spin. Les transformations générées par l'action de S U ( 3 $SO(3)$$1$$SU(3)$des générateurs ont également été intégrés à l'image géométrique Majorana. Contrairement aux qubits, la décomposition des portes quantiques à simple qutrit en termes d'impulsions de radiofréquence n'est pas simple et la représentation de la sphère Majorana fournit un moyen de décrire géométriquement ces portes. Des observations rapprochées de la dynamique des points représentant un qutrit sur la sphère Majorana sous l'action de diverses portes quantiques ont été utilisées pour obtenir les décompositions d'impulsions rf et des portes simples à qutrit de base ont été implémentées expérimentalement en utilisant la RMN.

figure. 1. Un qutrit sur la sphère Majorana est représenté par deux points et P 2 , reliés au centre de la sphère par des lignes respectivement en rouge et bleu. $P_1$$P_2$ , ϕ 1 sont les angles polaires et azimutaux correspondant au point P 1 ( θ 2 , ϕ 2 sont les angles pour le point P 2 ). (a) Les racines du polynôme de Majorana sont représentées dans le plan z = 0 par les points P ' 1 et P ' $\theta_1$$\phi_1$$P_1$$\theta_2$$\phi_2$$P_2$$z = 0$$P'_1$$P'_2$, dont la projection stéréographique donne naissance à la représentation Majorana. Trois exemples sont montrés correspondant à la représentation Majorana des vecteurs de base à un seul qutrit , ( c $(b)\;\vert+1\rangle$ et ( d $(c)\;\vert0\rangle$ . L'un des points est représenté par un cercle plein (rouge), tandis que l'autre point est représenté par un cercle vide (bleu).$(d)\;\vert-1\rangle$

Voir: " Majorana Représentation of Higher Spin States " (.PDF) par Wheeler (Website) ou " Wigner tomography of multispin quantum states ":

À quoi cela ressemble-t-il en utilisant la tomographie - "Dans cet article, nous développons théoriquement un schéma de tomographie pour les fonctions sphériques d'états quantiques multiniveaux arbitraires. Nous étudions des schémas expérimentaux pour reconstruire la représentation généralisée de Wigner d'un opérateur de densité donné (représentant des états quantiques mixtes ou purs ). "

Comparez cela à la complexité de la sphère de Bloch décrite dans: " Représentation de sphère de Bloch de phases géométriques à trois sommets ". La forme est la même, c'est la façon dont vous visualisez la projection utilisée.

Voici une image moins chargée:

Pensez à la sphère Bloch coupée en deux par une très grande feuille de papier. Au bord du papier (infini), tout point sur le dessus de la feuille trace une ligne pour (infini) le haut de la balle (le bas de la balle pour le dessous de la feuille). Les points les plus proches du centre du papier (états mixtes) dessinent des lignes vers le centre de la sphère. Cela représente la distance jusqu'à l'infini sur une minuscule boule, un qubit / qudit est fini donc le papier n'est pas si gros.

Maintenant, dessinez des points sur le papier 2D, tracez des lignes du papier à la balle, retirez le papier et regardez ou à travers la balle transparente pour voir l'autre extrémité de la ligne.

Une explication beaucoup plus précise et difficile est proposée dans les liens ci-dessus.

Ajoutant à ce que @pyramids a transmis dans leur réponse :

L'état d'un qubit s'écrit généralement $\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$$\alpha, \beta \in \Bbb{C}$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$

$\Bbb{C}^2(\Bbb{R})$$n$$\Bbb{R}^n(\Bbb{R})$$4$$(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$$a(1,0,0,0)+b(0,1,0,0)+c(0,0,1,0)+d(0,0,0,1)$.

$\alpha = a + i b$$a,b\in \Bbb{R}$$\beta = c + id$$c,d\in \Bbb{R}$$|a+ib|^2+|c+id|^2=1\implies a^2+b^2+c^2+d^2=1$

$4$$2$$\alpha,\beta$$1$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$.

Maintenant, en utilisant les coordonnées Hopf , disons:

$$\alpha = e^{i\psi}\cos(\theta/2)$$

$$\beta = e^{i(\psi+\phi)}\sin(\theta/2)$$

Ici, $\theta$$0$$\pi$$\psi$$\phi+\psi$$0$$\pi$

$\theta/2$ est utilisé au lieu de $\theta$ have a look at the answers on this excellent thread on Physics Stack Exchange.

Okay, even now you notice three degrees of freedom $\psi,\phi,\theta$, whereas in a unit radii sphere, you only have two angles which you can change to get the different states of a qubit.

Notice that $\phi$ is basically the "relative phase" between $\alpha$ and $\beta$. On the other hand $\psi$ does not contribute to the "relative phase" of $\alpha,\beta$. Also, neither $\phi$ nor $\psi$ contribute to the magnitude of $\alpha,\beta$ (since $|e^{i\varphi}|=1$ for any angle $\varphi$). Since $\psi$ contributes neither to "relative phase" nor to the "magnitudes" of $\alpha,\beta$ it is said to have no physically observable consequences and we can arbitrarily choose $\alpha$ to be real by eliminating the factor of $e^{i\psi}$.

Thus we end up with:

$$\alpha = \cos(\theta/2)$$ and $$\beta=e^{i\phi}\sin(\theta/2)$$ Where $\theta$ can run from $0$ to $\pi$, and $\phi$ can run from $0$ to $2\pi$.

This practical simplification allows you to represent a qubit's state using just $2$ degrees of freedom on $3$-dimensional spherical surface having unit radius, which again can again efficiently be "drawn" on a $2$-dimensional surface, as shown in the following image.

Mathematically, it is not possible to reduce the degrees of freedom any further, and so, I'd say there is no other "more efficient" geometrical representation of a single qubit than the Bloch sphere.

_{Source: Wikipedia:Bloch_Sphere}

The Bloch sphere historically came about to describe spins where up and down can actually be viewed as being (anti)parallel rather than (mathematically) orthogonal.

You can naturally (and perhaps more naturally!) depict a qubit's state in a way that orthogonal states are indeed orthogonal. Then a pure 1-qubit state occupies a point on the surface of a 4-dimensional sphere.

(Firstly, the "reputation points" requirement is stupid - this remark should be a comment on the previous post.)

A single qubit in a pure state has 2 real degrees of freedom, not 3, when you quotient out both magnitude and phase (i.e., complex normalization). So, most reasonable two-dimensional surfaces could be used (e.g., the 2-sphere or anything topologically equivalent).

Finding a useful representation is another story. The Bloch sphere has a natural extension to mixed states (which have 3 degrees of freedom), whereas this does not appear to be the case otherwise..