Quelle est la différence entre les superpositions et les états mixtes?

Ma compréhension jusqu'à présent est la suivante: un état pur est un état de base d'un système, et un état mixte représente une incertitude sur le système, c'est-à-dire que le système est dans l'un d'un ensemble d'états avec une certaine probabilité (classique). Cependant, les superpositions semblent également être une sorte de mélange d'états, alors comment s'intègrent-elles dans cette image?

Par exemple, considérez un lancer de pièce équitable. Vous pouvez le représenter comme un état mixte de «têtes» $\left|0\right>$ et « queues » $\left|1\right>$ :

$$\rho_1 = \sum_j \frac{1}{2} \left|\psi_j\right> \left<\psi_j\right| = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Cependant, on peut aussi utiliser la superposition de «têtes» et de «queues»: état spécifique $\psi = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \left|0\right> + \left|1\right> \right)$ avec une densité

$$\rho_2 = \left|\psi\right> \left<\psi\right| = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Si nous mesurons sur la base du calcul, nous obtiendrons le même résultat. Quelle est la différence entre un état superposé et un état mixte?

Non , une superposition de deux états différents est une bête complètement différente d'un mélange des mêmes états. Bien qu'il puisse apparaître de votre exemple que et ρ 2 produisent les mêmes résultats de mesure (et c'est effectivement le cas), dès que vous mesurez sur une base différente, ils donneront des résultats mesurablement différents$\rho_1$$\rho_2$ .

Une "superposition" comme est unétat pur. Cela signifie que c'est un état complètement caractérisé. En d'autres termes, il n'y a aucune quantité d'information qui, ajoutée à sa description, pourrait la rendre "moins indéterminée". Notez quechaque état purpeut être écrit comme superposition d'autres états purs. Écriture d'un état donné | ψ ⟩ comme une superposition d'autres états est littéralement la même chose queécritureun vecteur v en termes de une base: vous pouvez toujours changer la base ettrouver une représentation différente de v .$\newcommand{\up}{|\!\!\uparrow\rangle}\newcommand{\down}{|\!\!\downarrow\rangle}|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}(\up+\down)$$|\psi\rangle$$\boldsymbol v$$\boldsymbol v$

Ceci est en contraste direct avec un état mixte comme dans votre question. Dans le cas de ρ 1 , la nature probabiliste des résultats dépend de notre ignorance de l'État lui-même . Cela signifie qu'en principe, il est possible d'acquérir des informations supplémentaires qui nous diront si ρ 2 est bien dans l'état $\rho_1$$\rho_1$$\rho_2$ ou en l'état$\up$$\down$ .

Un état mixte ne peut pas, en général, être écrit comme un état pur. Cela devrait être clair à partir de l'intuition physique ci-dessus: les états mixtes représentent notre ignorance à propos d'un état physique, tandis que les états purs sont des états complètement définis, qui s'avèrent justement donner des résultats probabilistes en raison du fonctionnement de la mécanique quantique.

En effet, il existe un critère simple pour dire si un état donné (généralement mixte) peut s'écrire | ψ ⟩ ⟨ ψ | pour un état (pur) | ψ ⟩ : calculer sa pureté . La pureté d'un état ρ est définie comme $\rho$$|\psi\rangle\langle\psi|$$|\psi\rangle$$\rho$ , et c'est un résultat standard que la pureté de l'état est 1 si et seulement sil'état est pur (et inférieur à 1 sinon).$\operatorname{Tr} \,(\rho^2)$$1$ $1$

La réponse courte est qu'il y a plus dans l'information quantique que «l'incertitude». En effet, il existe plusieurs façons de mesurer un état; et c'est parce qu'il existe plus d'une base sur laquelle, en principe, vous pouvez stocker et récupérer des informations. Les superpositions vous permettent d'exprimer des informations sur une base différente de la base de calcul - mais les mélanges décrivent la présence d'un élément probabiliste, quelle que soit la base que vous utilisez pour examiner l'état.

La réponse la plus longue est la suivante -

La mesure telle que vous l'avez décrite est spécifiquement une mesure basée sur le calcul. Ceci est souvent décrit comme une «mesure» par souci de concision, et de grands sous-ensembles de la communauté pensent que c'est la principale façon de mesurer les choses. Mais dans de nombreux systèmes physiques, il est possible de choisir une base de mesure .

Un espace vectoriel sur a plus d'une base (même plus d'une base orthonormée), et sur le plan mathématique, il n'y a pas grand-chose qui rend une base plus spéciale qu'une autre, à part ce qui est pratique pour le mathématicien. Il en va de même en mécanique quantique: à moins que vous ne spécifiiez une dynamique spécifique, il n'y a pas de base plus spéciale que les autres. Cela signifie que la base de calcul | 0 ⟩ = [ 1 0 ]$\mathbb C$ n'est pas fondamentalement différent physiquement d'autre base telle que | + ⟩ =

$$\lvert 0 \rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \lvert 1 \rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$ qui est également une base orthonormée. Cela signifie qu'il devrait y avoir un moyen de «mesurer» un État| ψ⟩∈C2de telle sorte que les probabilités des résultats dépendent des projections sur ces états| +⟩Et| -⟩. $$\lvert + \rangle = \tfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \lvert - \rangle = \tfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix},$$ $\lvert \psi \rangle \in \mathbb C^2$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$

Dans certains systèmes physiques, la façon dont on effectue cette mesure est de prendre littéralement le même appareil et de l'incliner de sorte qu'il soit aligné avec l'axe X au lieu de l'axe Z. Mathématiquement, la façon de procéder est de considérer les projecteurs puis demander quelles sont les projections| φ+⟩:=Π+| ψ⟩et| φ-⟩:=Π-| ψ⟩. La norme au carré de| & phiv±⟩détermine la probabilité de « mesure|+⟩» et de « mesure|-⟩»; et normaliser| φ+

$$\Pi_+ = \lvert + \rangle\!\langle + \rvert = \tfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad \Pi_- = \lvert - \rangle\!\langle - \rvert = \tfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$$ $\lvert \varphi_+ \rangle := \Pi_+ \lvert \psi \rangle$$\lvert \varphi_- \rangle := \Pi_- \lvert \psi \rangle$$\lvert \varphi_\pm \rangle$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$$\lvert \varphi_+ \rangle$ou d'avoir une norme de 1 donne l'état de post-mesure. (Pour un état sur un seul qubit, ce sera juste | + ⟩ ou | - ⟩ états post-mesure plus intéressante peut se produire si l' on considère les états multi-qubit, et envisager le projecteur. Π + ou Π - agissant sur l' un des de nombreux qubits.)$\lvert \varphi_- \rangle$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$$\Pi_+$$\Pi_-$

Pour les opérateurs de densité, on prend l'état lequel on veut effectuer une mesure, et considérons ρ + : = Π + ρ Π + et ρ - : = Π - ρ Π - . Ces opérateurs peuvent être sous-normalisés de la même manière que les états | φ ± ⟩ pourrait être, en ce sens qu'ils peuvent avoir une trace inférieure à 1. La valeur de la trace de ρ ± est la probabilité d'obtenir le résultat | + ⟩ Ou | - $\rho$$\rho_+ := \Pi_+ \rho \Pi_+$$\rho_- := \Pi_- \rho \Pi_-$$\lvert \varphi_\pm \rangle$$\rho_\pm$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$de la mesure; pour renormaliser, il suffit de mettre à l'échelle l'opérateur projeté pour avoir la trace 1.

Considérez votre état ci-dessus. Si vous le mesurez par rapport au | ± ⟩ base, vous constaterez que ρ 2 = ρ 2 , + : = Π + ρ 2 Π + . Cela signifie que la projection de l'opérateur avec Π + change l'état et que la probabilité d'obtenir le résultat | + ⟩ À la mesure est 1. Si vous le faites à la place avec ρ 1 , vous trouverez 50/50 chances d'obtenir soit | + ⟩ Ou$\rho_2$$\lvert \pm \rangle$$\rho_2 = \rho_{2,+} := \Pi_+ \rho_2 \Pi_+$$\Pi_+$$\lvert + \rangle$$\rho_1$$\lvert + \rangle$ . Ainsi, l'état ρ 1 est un état mixte, tandis que ρ 2 n'est pas --- la différence étant que ρ 2 a un résultat défini dans unebase de mesuredifférentede la base standard. Vous pourriez dire que ρ 2 stocke une informationdéfinie, bien que sur une base différente de la base de calcul.$\lvert - \rangle$$\rho_1$$\rho_2$$\rho_2$$\rho_2$

Plus généralement, un état mixte est un état dont la plus grande valeur propre est inférieure à 1, ce qui signifie qu'il n'y a aucune base sur laquelle vous pouvez le mesurer pour obtenir un résultat définitif. Les superpositions vous permettent d'exprimer des informations sur une base différente de la base de calcul; les mélanges représentent un degré aléatoire de l'état du système que vous envisagez, quelle que soit la façon dont vous mesurez ce système.

Avec le post de glS:

Un état mixte serait si vous aviez un pot de peinture, mais vous n'étiez pas sûr s'il était bleu ou jaune. Vous savez que c'est soit l'un des deux, et une fois que vous ouvrez le haut et le mesurez, vous le savez, mais jusqu'à ce que vous le fassiez, il est dans l'un de ces deux états purs. Si vous le ramassiez dans une pile de boîtes de conserve où vous saviez qu'il y avait autant de boîtes de peinture bleue que de jaune, vous vous attendriez à une chance égale que ce soit l'une ou l'autre. 50% du temps ce serait 100% jaune et 50% du temps ce serait 100% bleu.

Une superposition est plus comme si vous prenez une demi-boîte de bleu et une demi-boîte de jaune et les versez ensemble. Vous avez maintenant construit un nouvel état pur qui peut être exprimé comme une combinaison d'autres états purs. Si vous testez son «bleu», il est d'environ 50%. Si vous testez son «jaunissement», il est d'environ 50%. Il est à la fois jaune et bleu en même temps. 100% du temps, il est à la fois 50% bleu et 50% jaune.

Si vous avez mesuré la quantité de bleu et de jaune dans une pile de boîtes bleues ou jaunes, puis dans une autre pile de vert, vous pourriez être confus de voir que vous avez autant de bleu et de jaune dans les deux piles, mais la différence est que le ' bleuissement »et« jaunissement »sont dans un état mixte dans la dernière pile mais en superposition dans la dernière.