Comment trouver la distance attendue entre deux points uniformément répartis?

Si je devais définir les coordonnées et où( X 2$(X_{1},Y_{1})$$(X_{2},Y_{2})$

Comment trouver la valeur attendue de la distance entre eux?

Je pensais, puisque la distance est calculée par serait la valeur attendue être juste ?(1/30+1/30)2+(1/40+1/40)$\sqrt{(X_{1}-X_{2})^{2} + (Y_{1}-Y_{2})^{2}})$$(1/30 + 1/30)^2 + (1/40+1/40)^2$

##problem
x <- runif(1000000,0,30)
y <- runif(1000000,0,40)
Uniform <- as.data.frame(cbind(x,y))
n <- nrow(Uniform)
catch <- rep(NA,n)
for (i in 2:n) {
      catch[i] <-((x[i+1]-x[i])^2 + (y[i+1]-y[i])^2)^.5
}
mean(catch, na.rm=TRUE)
18.35855

Si je comprends bien ce que vous recherchez, cela peut peut-être vous aider. Vous essayez de comprendre la distance entre des points aléatoires, les valeurs X qui sont générées à partir d'unif (0,30) et les valeurs Y sont générées à partir d'un unif (0,40). Je viens de créer un million de RV à partir de chacune de ces distributions, puis j'ai lié les x et les y pour créer un point pour chacune d'entre elles. Ensuite, j'ai calculé la distance entre les points 2 et 1 jusqu'à la distance entre les points 1 000 000 et 999 999. La distance moyenne était de 18,35855. Faites-moi savoir si ce n'est pas ce que vous cherchiez.

Il est clair, en regardant la question géométriquement, que la distance attendue entre deux points aléatoires indépendants et uniformes dans un ensemble convexe va être un peu moins de la moitié de son diamètre . (Cela devrait être moins parce qu'il est relativement rare que les deux points soient situés dans des zones extrêmes comme les coins et le plus souvent, ils seront près du centre, où ils sont proches.) Puisque le diamètre de ce rectangle est de , par ce seul raisonnement, nous prévoyons que la réponse sera un peu moins de 25 .$50$$25$

Une réponse exacte est obtenue à partir de la définition de l'attente comme la valeur pondérée par la probabilité de la distance. En général, considérons un rectangle des côtés et λ ; nous escalader jusqu'à la taille correcte par la suite (par le réglage λ = 40 / 30 et en multipliant l'attente par 30 ). Pour ce rectangle, en utilisant les coordonnées ( x , y ) , la densité de probabilité uniforme est $1$$\lambda$$\lambda = 40/30$$30$$(x,y)$. La distance moyenne à l'intérieur de ce rectangle est alors donnée par$\frac{1}{\lambda}dx dy$

L'utilisation de méthodes d'intégration élémentaires est simple mais difficile à faire; J'ai utilisé un système d'algèbre informatique ( Mathematica ) pour obtenir la réponse

La présence de $\sqrt{1+\lambda^2}$$30$$30$$40$

$\lambda=4/3$$30$$\frac{1}{108} (871+960 \log(2)+405 \log(3)) \approx 18.345919\ldots$

$\sqrt{1+\lambda^2}$$\lambda$$0$$1$$\lambda$$1/\lambda$$\lambda$$\lambda=1$

$1/3 \approx 0.33$$0.37$$3:1$