Il s'agit d'une question d'entrevue pour un poste d'analyste quantitatif, rapportée ici . Supposons que nous dessinons à partir d'une distribution uniforme et que les tirages soient iid, quelle est la longueur attendue d'une distribution augmentant de façon monotone? C'est-à-dire que nous arrêtons de dessiner si le tirage actuel est inférieur ou égal au tirage précédent.
J'ai obtenu les premiers:
\ Pr (\ text {length} = 2) = \ int_0 ^ 1 \ int_ {x_1} ^ 1 \ int_0 ^ {x_2} \ mathrm {d} x_3 \, \ mathrm {d} x_2 \, \ mathrm {d} x_1 = 1/3
\ Pr (\ text {length} = 3) = \ int_0 ^ 1 \ int_ {x_1} ^ 1 \ int_ {x_2} ^ 1 \ int_0 ^ {x_3} \ mathrm {d} x_4 \, \ mathrm { d} x_3 \, \ mathrm {d} x_2 \, \ mathrm {d} x_1 = 1/8
mais je trouve le calcul de ces intégrales imbriquées de plus en plus difficile et je n'ai pas le "truc" pour généraliser à . Je sais que la réponse finale est structurée
Des idées sur la façon de répondre à cette question?
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Une autre méthode de résolution qui vous apporte la solution pour un cas plus général.
Supposons que soit la longueur attendue d'une séquence monotone , telle que . La valeur que nous voulons calculer est . Et nous savons que . Conditionner sur la valeur suivante,F(x) {x1,x2,...} x≤x1≤x2≤⋯ F(0) F(1)=0
où est la densité U [0,1]. Alorsπ(y)=1
En résolvant avec la condition aux limites , on obtient . D'où .F(1)=0 F(x)=e(1−x)−1 F(0)=e−1
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Une autre méthode de résolution consiste à calculer directement l'intégrale.
La probabilité de générer une séquence dont la partie croissante a une longueur de est , où .≥n fn(0) fn(x)=∫1x∫1x1∫1x2...∫1xn−2∫1xn−1dxndxn−1...dx2dx1
Ce que nous devons faire est de calculer .fn(0)
Si vous essayez de calculer les premiers , vous constaterez peut-être quefn(x) fn(x)=∑nt=0(−x)tt!(n−t)!
Cas de base: lorsque ,n=1 f1(x)=∑1t=0(−x)tt!(n−t)!=1−x=∫1xdx1
Hypothèse inductive: lorsque ,n=k fn(x)=∑kt=0(−x)tt!(k−t)! , for k≥1
Étape inductive: lorsque ,n=k+1
Par induction mathématique, l'hypothèse est vraie.
Ainsi, nous obtenons quefn(0)=1n!
Donc,E(length)=∑∞n=1Pr(length≥n)=∑∞n=11n!=e−1
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