Pourquoi la valeur attendue est-elle nommée ainsi?

Je comprends comment nous obtenons 3,5 comme valeur attendue pour lancer un dé à 6 faces équitable. Mais intuitivement, je peux m'attendre à chaque visage avec une chance égale de 1/6.

Donc, la valeur attendue de lancer un dé ne devrait-elle pas être l'un des nombres entre 1 et 6 avec une probabilité égale?

En d'autres termes, lorsqu'on lui pose la question «quelle est la valeur attendue de lancer un dé à 6 faces équitable?», Il faut répondre «oh, cela peut être n'importe quoi entre 1-6 avec une chance égale». C'est plutôt 3,5.
Intuitivement dans le monde réel, quelqu'un peut-il expliquer comment 3,5 est la valeur à laquelle je dois m'attendre en lançant un dé?
Encore une fois, je ne veux pas la formule ou la dérivation de l'attente.

Imaginez que vous êtes à Paris en 1654 et que vous et votre ami observez un jeu de hasard basé sur un roulement séquentiel de dés à six faces. Maintenant, le jeu est très illégal et les bustes par le gendarme sont assez fréquents, et être attrapé à une table avec des piles de livre, c'est presque sûrement garantir un long passage au Château d'If.

Pour contourner ce problème, vous et votre ami avez un gentleman's agreement sur un pari effectué entre deux d'entre vous avant le dernier jet de dé. Il accepte de vous payer cinq livres si vous observez deux six dans les cinq prochains rouleaux de dés, et vous acceptez de lui payer le même montant si deux sont lancés, sans autre action si ces combinaisons ne se présentent pas.

Maintenant, le dernier jet de dé est un six donc vous êtes au bord de votre siège, au figuré. En ce moment, des gardes lourdement armés ont fait irruption dans la tanière et ont arrêté tout le monde autour de la table, et la foule s'est dispersée.

Votre ami pense que le pari entre vous deux est désormais invalidé. Cependant, vous pensez qu'il devrait vous payer un certain montant, car un six avait déjà été roulé. Quelle est la meilleure façon de régler ce différend entre vous deux?

(Ceci est mon interprétation des origines de la valeur attendue telle que présentée ici et discutée plus en détail ici )

Répondons à cette question de la juste valeur de manière non rigoureuse. Le montant que votre ami devrait vous payer peut être calculé de la manière suivante. Considérez tous les jets de quatre dés possibles. Certains ensembles de rouleaux (à savoir ceux contenant au moins un six) feront en sorte que votre ami paiera le montant convenu. Cependant, sur d'autres ensembles (à savoir ceux qui n'en contiennent pas un seul), vous ne recevrez pas d'argent. Comment équilibrez-vous la possibilité que ces deux types de rouleaux se produisent? Simple, faites la moyenne du montant que vous auriez été payé sur TOUS les rouleaux possibles.

Cependant, votre ami, (ce qui est peu probable), peut toujours gagner son pari! Vous devez considérer le nombre de fois où deux seront lancés dans les quatre dés restants, et faire la moyenne du montant que vous lui paierez sur le nombre de tous les jets possibles de quatre dés. C'est le juste montant que vous devez payer à votre ami pour son pari. Ainsi, le montant que vous finissez par obtenir est le montant que votre ami devrait vous payer, moins ce que vous devriez payer à votre ami.

C'est pourquoi nous l'appelons la "valeur attendue". Il s'agit du montant moyen que vous prévoyez de recevoir si vous êtes capable de simuler un événement se produisant dans plusieurs univers simultanés.

Excellente question. C'est plus subtil qu'il n'y paraît au premier abord. Il s'agit de l' événement aléatoire et de la variable aléatoire (nombre, valeur). Votre confusion vient du mélange de ces deux concepts liés mais distincts.

Commençons par un événement. D'après la façon dont vous avez formulé votre question, il semble que vous considérez le résultat d'un dé lancé un événement. C'est aléatoire, donc vous pouvez obtenir l'un de ses six côtés avec une chance égale, comme vous l'avez écrit. C'est parfaitement logique.

Quelle est la valeur attendue de cette expérience? Les attentes sont définies pour des variables (valeurs) aléatoires et non pour des événements. Pour vous, les chiffres 1 à 6 sur les dés sont simplement les moyens de distinguer ses côtés (dans le contexte de la formulation de votre question). Imaginez que vous utilisiez plutôt des lettres: A, B, C, D, E et F. Remplacez les chiffres par des lettres et répétez votre question comme suit:

En d'autres termes, lorsqu'on lui pose la question «quelle est la valeur attendue de lancer un dé à 6 faces équitable?

Essayez maintenant de trouver une valeur attendue. Ce n'est pas défini!

Les attentes apparaissent lorsque vous définissez les valeurs aléatoires, telles que 1 à 6. Vous mappez les valeurs à l'espace événementiel, par exemple, vous définissez que le côté A est 1, le côté B est 2 etc. Maintenant, vous avez 6 nombres et pouvez calculer l'espérance, qui se trouve être de 3,5.

"Chacune des valeurs est également probable" ou "une valeur très probable" est la définition du mode, et non la valeur attendue.

Imaginez que nous jouons à un jeu de lancer de pièces. Chaque fois que je lance des têtes, je vous donne 1 $ , chaque fois que je lance des queues, vous me donnez 1 $ . Combien d' argent vous attendre à gagner ou perdre à long terme ? Les quantités sont égales, les probabilités de les lancer sont égales, la valeur attendue est nulle.

La valeur attendue est appelée ainsi parce que si vous faites la moyenne de tous les lancers de dés, vous vous attendez à obtenir cette valeur attendue à long terme . La valeur attendue n'est liée à aucun lancer de dés unique.

D'un point de vue historique, le concept semblait apparaître dans différents pays, donc je considérerais l'utilisation de ce mot comme une convergence pratique entre des concepts similaires à travers les langues.

Mon point de départ était l'excellente première utilisation des symboles dans les probabilités et les statistiques :

Attente. Un grand script E a été utilisé pour l'attente dans le célèbre manuel de WA Whitworth Choice and Chance (cinquième édition) de 1901, mais ni le symbole ni le calcul des attentes ne se sont établis dans la littérature anglaise que beaucoup plus tard. Par exemple, Rietz Mathematical Statistics (1927) a utilisé le symbole E et a commenté que "la valeur attendue de la variable est un concept qui a été beaucoup utilisé par divers écrivains d'Europe continentale ..." Pour les écrivains d'Europe continentale E signifiait "Erwartung" ou " espérance (ndlr: mathématique) ".

Le terme est parfois "attribué à" Huyghens, qui est discuté dans Huygens Foundations Of Probability :

Il est généralement admis que Huygens a basé la probabilité sur l'attente. Le terme "attente", cependant, provient de la traduction latine de Van-Schooten du traité de Huygens. Une traduction littérale du texte néerlandais de Huygens montre plus clairement ce que Huygens voulait réellement dire et comment il procédait.

Des détails supplémentaires concernant Fermat, Pascal peuvent être trouvés dans Attente et les premiers probabilistes .

Fait intéressant, le concept plus général que la valeur attendue est l' emplacement . Ainsi, le concept de valeur attendue a des implications subtiles qui sont quelque peu déroutantes.

$\leq 3$$\$1$$\geq 4$ perd 1 $, fonctionne aussi bien qu'en moyenne, avec l'avantage d'avoir réellement des résultats dans cet univers.

La raison de l'association excessivement restreinte entre les termes «valeur attendue» et «valeur moyenne» semble être historique plutôt que sémantiquement correcte, ou même particulièrement convaincante. C'est-à-dire que le contexte dans lequel une valeur attendue calculée est cohérente l'attente d'un comportement caractérisant l'emplacement dans un ensemble de données est limité à seulement certaines distributions de données, et pas à d'autres.

$f$ s'applique est donc traçable à Tchebychev 1887. Telle est la force du théorème de la limite centrale qu'il est devenu une expression entre parenthèses pour associer la valeur attendue à une valeur moyenne, par opposition à une mesure plus générale de l'emplacement.

Mais qu'en est-il des distributions de données qui ne sont pas normales pour lesquelles d'autres mesures sont plus stables et / ou plus représentatives de ces données? Par exemple, la valeur moyenne ou la valeur extrême moyenne des données d'une distribution uniforme est plus précise et stable, c'est-à-dire précise et converge plus rapidement que la moyenne ou la médiane de cette distribution. Pour les distributions log-normales, par exemple, (une grande partie du traitement des) données sur le revenu, l'anti-log de la moyenne du logarithme des données ( moyenne géométrique AKA$\alpha \beta ^{\alpha } t^{-\alpha -1}$$\alpha \leq 1$$\alpha \leq 1$$\alpha \gt 1$