Trouver la valeur attendue à l'aide de CDF

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Je vais commencer par dire qu'il s'agit d'un problème de devoirs tout droit sorti du livre. J'ai passé quelques heures à chercher comment trouver les valeurs attendues et j'ai déterminé que je ne comprenais rien.

Soit X le CDF F(x)=1xα,x1 .
Recherchez E(X) pour les valeurs de α pour lesquelles E(X) existe.

Je ne sais même pas comment commencer cela. Comment puis-je déterminer quelles valeurs de α existent? Je ne sais pas non plus quoi faire avec le CDF (je suppose que cela signifie fonction de distribution cumulative). Il existe des formules pour trouver la valeur attendue lorsque vous avez une fonction de fréquence ou une fonction de densité. Wikipedia indique que le CDF de X peut être défini en fonction de la fonction de densité de probabilité f comme suit:

F(x)=xf(t)dt

Ceci est aussi loin que je suis. Où vais-je d'ici?

EDIT: je voulais dire x1 .

Styfle
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Réponses:

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Edité pour le commentaire de Probistislogic

Notez que dans ce cas, la distribution a donc la probabilité 0 d'être inférieure à 1 , donc x 1 , et vous aurez également besoin de α > 0 pour un nombre croissant de cdf.F(1)=001x1α>0

Si vous avez la cdf alors vous voulez l’anti-intégral ou dérivé qui avec une distribution continue comme celle-ci

f(x)=dF(x)dx

et inversement pour x 1 .F(x)=1xf(t)dtx1

Ensuite, pour trouver l'attente dont vous avez besoin

E[X]=1xf(x)dx

à condition que cela existe. Je vais vous laisser le calcul.

Henri
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@henry - , donc le support ne peut pas être inférieur à 1 (car le CDF est une fonction non décroissante)F(1)=11α=11=0
probabilogiciel
@probabilityislogic: Vous avez peut-être raison en termes de livre. Je vais changer ma réponse.
Henry
Merci pour la réponse. Que représente f (x)? La fonction de densité de probabilité? La dérivée de la cdf est-elle toujours f (x)?
Styfle
1
est en effet supposé être la fonction de densité de probabilité. Si le cdf a un dérivé, alors c'est la densité, bien qu'il y ait des distributions (par exemple discrètes) où le cdf n'a pas de dérivé partoutf(x)
Henry
1
@styfle: Si elle existe alors , et de même pour les attentes d'autres fonctions de x . E[X2]=1x2f(x)dxx
Henry
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L'utilisation de la fonction de densité n'est pas nécessaire

Intégrer 1 moins le CDF

Lorsque vous avez une variable aléatoire dont le support est non négatif (c'est-à-dire que la variable a une densité / probabilité non nulle pour des valeurs uniquement positives), vous pouvez utiliser la propriété suivante:X

E(X)=0(1FX(x))dx

Une propriété similaire s'applique dans le cas d'une variable aléatoire discrète.

Preuve

Depuis ,1FX(x)=P(Xx)=xfX(t)dt

0(1FX(x))dx=0P(Xx)dx=0xfX(t)dtdx

Puis changez l'ordre d'intégration:

=00tfX(t)dxdt=0[xfX(t)]0tdt=0tfX(t)dt

Reconnaître que est une variable muette ou prendre la simple substitution t = x et d t = d x ,tt=xdt=dx

=0xfX(x)dx=E(X)

Attribution

J'ai utilisé la section Formules pour cas spéciaux de l' article Valeur attendue sur Wikipedia pour me rafraîchir la mémoire sur l'épreuve. Cette section contient également des preuves pour le cas de variable aléatoire discrète et également pour le cas qu'aucune fonction de densité n'existe.

Plume de feu
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1
+1 excellent résultat: l'intégrale de la cdf est très simple, en outre, il est sage d'éviter les dérivées, chaque fois que nous le pouvons (elles ne se comportent pas aussi bien que les intégrales;)). : En utilisant la fonction de répartition pour calculer la variance voir ici math.stackexchange.com/questions/1415366/...
loved.by.Jesus
2
Lorsque vous changez l'ordre d'intégration, comment obtenez-vous les limites d'intégration?
Zaz
La preuve standard ne suppose pas que a une densité. X
ae0709
@Zaz nous avons défini les limites d'intégration de sorte que la même partie de l'espace (t, x) soit couverte. Les contraintes d'origine sont x> 0 et t> x. Les limites extérieures ne peuvent pas dépendre de la variable interne, mais nous pouvons définir la même région comme t> 0 et 0 <x <t. De bons exemples de ce processus ici: mathinsight.org/…
fredcallaway
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Le résultat se prolonge au ème moment de X ainsi. Voici une représentation graphique: kXenter image description here

StijnDeVuyst
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8

x1F(1)=11α=11=0

xx0F(y)F(x)1 for all yx.

So if we plug in the CDF we get:

01xα111xα0xα1>0x1.

From this we conclude that the support for x is x1. Now we also require limxF(x)=1 which implies that α>0

To work out what values the expectation exists, we require:

E(X)=1xdF(x)dxdx=α1xαdx

And this last expression shows that for E(X) to exist, we must have α<1, which in turn implies α>1. This can easily be extended to determine the values of α for which the r'th raw moment E(Xr) exists.

probabilityislogic
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(+1) Particularly for the sharp-eyed recognition that the given support was incorrect.
cardinal
Thanks for the response. I fixed the question. I meant to put x>=1. How did you know to first differentiate the cdf to get the density function?
styfle
@styfle - parce que c'est ce que le PDF est, chaque fois que le CDF est continu et différentiable. Vous pouvez le voir en regardant comment vous avez défini votre CDF. La différenciation d'une intégrale ne vous donne que l'intégrande lorsque la limite supérieure fait l'objet de la différenciation.
probabilislogic
1
@styfle - le PDF peut également être considéré comme la probabilité qu'un RV se situe dans un intervalle infinitésimal. Pr(X<X<X+X)=F(X+X)-F(X)F(X)XX=F(X)X comme X0. Cette façon de faire est valable plus généralement, même pour les véhicules récréatifs discrets et les véhicules récréatifs sans densité (la limite n’est autre chose qu’un dérivé).
probabilityislogic
1

The Answer requiring change of order is unnecessarily ugly. Here's a more elegant 2 line proof.

udv=uvvdu

Now take du=dx and v=1F(x)

0[1F(x)]dx=[x(1F(x))]0+0xf(x)dx

=0+0xf(x)dx

=E[X]

chirag nagpal
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I think you mean to let du-dx so that u=x.
Michael R. Chernick