Comment calculez-vous l'espérance de ?

Si est distribué de façon exponentielle avec le paramètre et que les sont mutuellement indépendants, quelle est l'attente de $X_i$ $(i=1,...,n)$ $\lambda$ $X_i$

{(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2}

$\left(\sum_{i=1}^n {X_i} \right)^2$

en termes de $n$ et $\lambda$ et éventuellement d'autres constantes?

Remarque: Cette question a obtenu une réponse mathématique sur /math//q/12068/4051 . Les lecteurs y jetteraient également un coup d'œil.

expected-value exponential gamma-distribution Isaac
la source

Les deux copies de cette question se référencent et, de manière appropriée, le site de statistiques (ici) a une réponse statistique et le site de mathématiques a une réponse mathématique. Cela semble être une bonne division: laissez-le reposer!

whuber

Réponses:

Si , alors (sous indépendance), , donc est distribué gamma (voir wikipedia ). Donc, nous avons juste besoin de . Puisque , nous savons que . Par conséquent, (voir wikipedia pour l'espérance et la variance de la distribution gamma). $x_i \sim Exp(\lambda)$ $y = \sum x_i \sim Gamma(n, 1/\lambda)$ $y$ $E[y^2]$ $Var[y] = E[y^2] - E[y]^2$ $E[y^2] = Var[y] + E[y]^2$ $E[y^2] = n/\lambda^2 + n^2/\lambda^2 = n(1+n)/\lambda^2$

Wolfgang
la source

Merci. Une manière très nette de répondre à la question (conduisant à la même réponse) a également été fournie sur math.stackexchange (lien ci-dessus dans la question) il y a quelques minutes.

Wolfgang

La réponse mathématique calcule les intégrales en utilisant la linéarité de l'attente. À certains égards, c'est plus simple. Mais j'aime votre solution car elle exploite les connaissances statistiques : parce que vous savez qu'une somme de variables exponentielles indépendantes a une distribution Gamma, vous avez terminé.

whuber

J'ai beaucoup aimé et je ne suis en aucun cas un statisticien ou un mathématicien.

Kortuk

réponse très élégante.

Cyrus S

@Dilip Le mathématicien a tendance à voir cette question comme demandant une intégrale et procède directement à son intégration. Le statisticien le ré-exprime en termes de quantités statistiques familières, telles que la variance, et de relations statistiques familières, telles que l'exponentielle est Gamma et la famille Gamma est fermée par convolution. Les réponses sont les mêmes mais les approches sont complètement différentes. Il y a ensuite la question de savoir ce que signifie réellement «faire une intégration». Par exemple, cette intégrale compliquée se fait de manière purement algébrique.

whuber

La réponse ci-dessus est très agréable et répond complètement à la question, mais je vais plutôt fournir une formule générale pour le carré attendu d'une somme et l'appliquer à l'exemple spécifique mentionné ici.

Pour tout ensemble de constantes c'est un fait que $a_1, ..., a_n$

{(\sum_{i = 1}^{n} a_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} a_{j}

$\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i} a_{j}$

cela est vrai par la propriété Distributive et devient clair lorsque vous considérez ce que vous faites lorsque vous calculez à la main. $(a_1 + ... + a_n) \cdot (a_1 + ... + a_n)$

Par conséquent, pour un échantillon de variables aléatoires , quelles que soient les distributions, $X_1, ..., X_n$

E ({[\sum_{i = 1}^{n} X_{i}]}^{2}) = E (\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j})

$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$

à condition que ces attentes existent.

Dans l'exemple du problème, sont des variables aléatoires iid , ce qui nous dit que et pour chaque . Par indépendance, pour , nous avons $X_1, ..., X_n$ ${\rm exponential}(\lambda)$ $E(X_{i}) = 1/\lambda$ ${\rm var}(X_i) = 1/\lambda^2$ $i$ $i \neq j$

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}) \cdot E (X_{j}) = \frac{1}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_i) \cdot E(X_j) = \frac{1}{\lambda^2}$

Il y a de ces termes dans la somme. Lorsque , nous avons $n^2 - n$ $i = j$

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}^{2}) = v a r (X_{i}) + E (X_{i})^{2} = \frac{2}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_{i}^{2}) = {\rm var}(X_{i}) + E(X_{i})^2 = \frac{2}{\lambda^2}$

et il y a de ces termes dans la somme. Par conséquent, en utilisant la formule ci-dessus, $n$

E {(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j}) = (n^{2} - n) \cdot \frac{1}{λ^{2}} + n \cdot \frac{2}{λ^{2}} = \frac{n^{2} + n}{λ^{2}}

$E \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j) = (n^2 - n)\cdot\frac{1}{\lambda^2} + n \cdot \frac{2}{\lambda^2} = \frac{n^2 + n}{\lambda^2}$

est votre réponse.

Macro
la source

Ce problème n'est qu'un cas particulier du problème beaucoup plus général des «moments des moments» qui sont généralement définis en termes de notation de somme de puissance. En particulier, en notation de somme de puissance:

s_{1} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$s_1 = \sum_{i=1}^{n} X_i$

Ensuite, quelle que soit la distribution , l'affiche originale cherche (à condition que les moments existent). L'opérateur des attentes n'étant que le 1er moment brut, la solution est donnée dans le logiciel mathStatica par: $E[s_1^2]$

[Le '___ToRaw' signifie que nous voulons que la solution soit présentée en termes de moments bruts de la population (plutôt que de moments centraux ou cumulants). ]

Enfin, si ~ Exponentiel ( ) avec pdf : $X$ $\lambda$ $f(x)$

f = Exp[-x/λ]/λ;      domain[f] = {x, 0, ∞} && {λ > 0};

alors nous pouvons remplacer les moments dans la solution générale par les valeurs réelles pour une variable aléatoire exponentielle, comme ceci: $\mu_i$ sol

Terminé.

PS La raison pour laquelle les autres solutions affichées ici donnent une réponse avec dans le dénominateur plutôt que dans le numérateur est, bien sûr, parce qu'elles utilisent un paramétrage différent de la distribution exponentielle. Étant donné que l'OP n'a pas indiqué la version qu'il utilisait, j'ai décidé d'utiliser la définition standard du manuel de théorie de la distribution Johnson Kotz et al… juste pour équilibrer les choses :) $\lambda^2$

Wolfies
la source