Calcul vectoriel dans les statistiques

J'enseigne un cours sur l'intégration des fonctions de plusieurs variables et le calcul vectoriel ce semestre. Le cours est composé de la plupart des majors en économie et en génie, avec une poignée de maths et de physique aussi. J'ai enseigné cette classe le semestre dernier et j'ai trouvé que beaucoup de majors en économie s'ennuyaient plutôt au cours du second semestre. J'ai pu motiver plusieurs intégrales en faisant des calculs avec des variables aléatoires distribuées conjointement, mais pour la partie analyse vectorielle du cours, la seule motivation à laquelle je pouvais penser était basée sur la physique.

Je me demande donc si quelqu'un connaît une interprétation statistique / probabiliste de l'un des principaux théorèmes du calcul vectoriel: le théorème de Green, le théorème de Stokes et le théorème de divergence. Une partie du problème est que les champs vectoriels ne semblent pas apparaître très souvent dans la théorie des probabilités, sans parler de la divergence, du gradient ou de la boucle. J'ai également posté cette question sur math.stackexchange il y a quelques jours, mais je cherche toujours plus d'idées.

Un exemple que vous pourriez examiner est la quasi-vraisemblance. La discussion de ceux-ci dans McCullagh & Nelder: Modèles linéaires généralisés utilise (pour la partie théorique) les gradients et les intégrales de chemin d'une manière essentielle! Voir le chapitre 9 de ce livre.

Je doute que de nombreux statisticiens devront utiliser le calcul vectoriel tel qu'il est enseigné pour la physique et l'ingénierie . Mais pour ce que ça vaut, voici quelques sujets qui pourraient l'utiliser, au moins tangentiellement. Le thème sous-jacent ici est que les fonctions holomorphes issues d'analyses complexes, qui sont composées de fonctions harmoniques, sont intimement liées par les équations de Cauchy Riemann aux théorèmes de Stokes et de Green. Ces fonctions peuvent être étudiées à la fois en examinant l'intérieur de leur domaine ainsi que leur frontière.

Courants de probabilité. Ce n'est pas seulement pour la mécanique quantique. En général, des diffusions de probabilité surviennent lors de l'étude de distributions de probabilité variant dans le temps qui changent en douceur. Cela inclut la version stochastique des systèmes classiques, tels que l'équation de la chaleur, Navier Stokes pour la dynamique des fluides, les équations d'onde pour la mécanique quantique, etc. Des exemples d'équations incluent l'équation de Fokker-Planck et les équations de Kolmogorov Backwards / Forwards impliquent des divergences, qui à leur tour se rapportent pour chauffer les équations, les intégrales de Feynan-Kac, les problèmes de dirichlet et les fonctions de Green. Les mots clés ici sont des fonctions harmoniques complexes, qui satisfont la propriété de la valeur moyenne, qui à son tour est une conséquence du théorème intégral de Green et du théorème de Stokes. Un exemple classique est le calcul du temps de sortie d'une diffusion à partir d'une région fermée, ce qui revient à évaluer les intégrales à la frontière de la surface et à exploiter l'harmonie au sein de la région.

L'exemple principal ici est les problèmes impliquant le mouvement brownien, et en général la grande classe des diffusions Ito . Un livre merveilleux (et excentrique!) À ce sujet est Green, Brown and Probability du légendaire Kai Chung.

Le théorème de désintégration pour la probabilité est l'implicite Thoerem de Stokes, en ce sens que l'on désintègre une mesure de probabilité en 3 dimensions sur la frontière de la surface qui renferme son support.

En mécanique statistique et dans les champs aléatoires markoviens, il existe une forte prévalence de conservation sous forme de courants. Le modèle d'Ising, en particulier à la criticité, et ses parents peuvent être étudiés du point de vue des fonctions harmoniques et holomorphes discrètes. À partir des équations de Cauchy Riemann, on récupère à la fois le théorème de Green et le théorème de Stokes, en ce sens que les courants sont à la fois sans divergence et sans boucle, ce qui implique ensemble que le champ sous-jacent est holomorphe. Une grande référence à ce sujet provient des travaux de Smirnov, Chelkak et Dominil-Copin .