Espérance conditionnelle d'une variable aléatoire exponentielle

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Pour une variable aléatoire XExp(λ) ( E[X]=1λ ) Je sens intuitivement queE[X|X>x]devrait être égal àx+E[X]puisque par la propriété sans mémoire la distribution deX|X>xest le même que celui deXmais décalé vers la droite dex.

Cependant, j'ai du mal à utiliser la propriété sans mémoire pour donner une preuve concrète. Toute aide est très appréciée.

Merci.

mchen
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Indice: fX|X>a(x)=fX(xa) est l'expression mathématique correspondant à "décalé vers la droite de a ", et donc
E[XX>a]=xfXX>a(x)dx=xfX(xa)dx.
Faites maintenant un changement de variables sur l'intégrale de droite.
Dilip Sarwate
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Notez que X|X>x est une distribution tronquée tronquée en dessous de " x ". En particulier, il s'agit d'une distribution exponentielle décalée et l'exponentielle décalée n'a pas de propriété sans mémoire .
AD

Réponses:

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Par la propriété sans mémoire la distribution deX|X>x est le même que celui deX mais décalé vers la droite dex .

Soit fX(t) représentent la fonction de densité de probabilité (pdf) de X . Ensuite, la formulation mathématique de ce que vous énoncez correctement savoir, le pdf conditionnel de X étant donné que {X>x} est la même que celle de X mais décalée vers la droite de x est que fXX>x(t)=fX(tx) . Par conséquent, E[XX>x] , lavaleur attenduedeX étant donné que{X>x} est

E[XX>x]=tfXX>x(t)dt=tfX(tx)dt=(x+u)fX(u)duon substituting u=tx=x+E[X].
Notez que nous n'avons pas explicitement utilisé la densité deXdans le calcul, et n'avons même pas besoin de l'intégrerexplicitementsi nous nous souvenons simplement que (i) l'aire sous un pdf est1et (ii) la définition de la valeur attendue d'un variable aléatoire continue en termes de son pdf.

Dilip Sarwate
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x>0{X>x}P{X>x}=1FX(x)=eλx>0

E[XX>x]=E[XI{X>x}]P{X>x},
E[XI{X>x}]=xtλeλtdt=()
()=λxddλ(eλt)dt=λddλxeλtdt
=λddλ(1λxλeλtdt)=λddλ(1λ(1FX(x)))
=λddλ(eλxλ)=(1λ+x)eλx,
E[XX>x]=1λ+x=E[X]+x.
Zen
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xtλeλtdt=teλt|x+xeλtdt=(x+1λ)eλx?