Pour une variable aléatoire ( ) Je sens intuitivement quedevrait être égal àpuisque par la propriété sans mémoire la distribution deest le même que celui demais décalé vers la droite de.
Cependant, j'ai du mal à utiliser la propriété sans mémoire pour donner une preuve concrète. Toute aide est très appréciée.
Merci.
Réponses:
SoitfX(t) représentent la fonction de densité de probabilité (pdf) de X . Ensuite, la formulation mathématique de ce que vous énoncez correctement − savoir, le pdf conditionnel de X étant donné que {X>x} est la même que celle de
X mais décalée vers la droite de x − est que fX∣X>x(t)=fX(t−x) . Par conséquent, E[X∣X>x] , lavaleur attenduedeX étant donné que{X>x} est
E[X∣X>x]=∫∞−∞tfX∣X>x(t)dt=∫∞−∞tfX(t−x)dt=∫∞−∞(x+u)fX(u)du=x+E[X].on substituting u=t−x
Notez que nous n'avons pas explicitement utilisé la densité deX dans le calcul, et n'avons même pas besoin de l'intégrerexplicitementsi nous nous souvenons simplement que (i) l'aire sous un pdf est1 et (ii) la définition de la valeur attendue d'un variable aléatoire continue en termes de son pdf.
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