Variance du produit de plusieurs variables aléatoires

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Nous savons que la réponse pour deux variables indépendantes:

Var(XY)=E(X2Y2)(E(XY))2=Var(X)Var(Y)+Var(X)(E(Y))2+Var(Y)(E(X))2

Cependant, si nous prenons le produit de plus de deux variables, , quelle serait la réponse en termes de variance et de valeur attendue de chaque variable?Var(X1X2Xn)

Damla
la source
5
Puisque est une variable aléatoire et (en supposant que tous les X i soient indépendants), elle est indépendante de X n , la réponse est obtenue par induction: rien de nouveau n’est nécessaire. Si cela vous semble trop mystérieux, la technique n’est pas différente de la remarque suivante: puisque vous pouvez ajouter deux nombres à l’aide d’une calculatrice, vous pouvez ajouter n chiffres avec la même calculatrice par addition répétée. X1X2Xn1XiXnn
whuber
3
Pourriez-vous écrire une preuve de votre équation affichée? Je suis curieux de savoir ce qui est arrivé au terme qui devrait vous donner quelques termes impliquant cov ( X , Y ) . (E[XY])2cov(X,Y)
Dilip Sarwate
5
@DilipSarwate, je soupçonne que cette question suppose tacitement que et Y sont indépendants. La formule de l'OP est correcte lorsque X et Y ne sont pas corrélés et que X 2 , Y 2 ne sont pas corrélés. Voir ma réponse à une question connexe ici . XYX,YX2,Y2
Macro
5
@ Macro Je suis bien conscient des points que vous soulevez. Ce que je cherchais à obtenir l'OP à comprendre et / ou de la figure pour lui - même / elle - même était que pour indépendants des variables aléatoires, comme Simplifie à E [ X 2 Y 2 ] = E [ X 2 ] E [ Y 2 ] = ( σ 2 X + μ 2 X ) ( σ 2 Y + μ 2 YE[X2Y2]E [ ( X 1X n ) 2 ] se simplifie en E [ ( X 1X n ) 2 ] = E [ X 2 1 ] E [ X 2 n ] = n Π i = 1 ( σ 2 X i + μ 2 X i )
E[X2Y2]=E[X2]E[Y2]=(σX2+μX2)(σY2+μY2),
E[(X1Xn)2]
E[(X1Xn)2]=E[X12]E[Xn2]=i=1n(σXi2+μXi2)
ce qui, à mon avis, est un moyen plus direct d’atteindre le résultat final que la méthode inductive que whuber a souligné.
Dilip Sarwate
@DilipSarwate, gentil. Je vous suggère de poster cela comme une réponse afin que je puisse le revigorer!
Macro

Réponses:

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X1,X2,,Xn

var(X1Xn)=E[(X1Xn)2](E[X1Xn])2=E[X12Xn2](E[(X1]E[Xn])2=E[X12]E[Xn2](E[X1])2(E[Xn])2=i=1n(var(Xi)+(E[Xi])2)i=1n(E[Xi])2
n=2n=2X1X2X1X2X12X22n3
Dilip Sarwate
la source
Merci beaucoup! J'apprécie vraiment cela. Oui, la question portait sur les variables aléatoires indépendantes.
Damla
X1=X2==Xn=X
J'ai posté la question dans une nouvelle page. Merci beaucoup! stats.stackexchange.com/questions/53380/…
damla
n
3