Comment le minimum d'un ensemble de variables aléatoires est-il distribué?

Si sont des variables aléatoires indépendantes distribuées de manière identique, que peut-on dire de la distribution de en général?$X_1, ..., X_n$$\min(X_1, ..., X_n)$

Si la cdf de $X_i$ est notée $F(x)$ , alors la cdf du minimum est donnée par $1-[1-F(x)]^n$ .

Si le CDF de $X_i$ est désigné par $F(x)$ , le CDF du minimum est donné par $1-[1-F(x)]^n$ .

Raisonnement: étant donné $n$ variables aléatoires, la probabilité $P(Y\leq y) = P(\min(X_1\dots X_n)\leq y)$ implique qu'au moins un $X_i$ est inférieur à $y$ .

La probabilité qu’au moins un $X_i$ soit inférieur à $y$ équivaut à un moins la probabilité que tous les $X_i$ soient supérieurs à $y$ , c’est-à-dire $P(Y\leq y) = 1 - P(X_1 \gt y,\dots, X_n \gt y)$ .

Si les $X_i$ sont indépendants de manière identique, la probabilité que tous les $X_i$ soient supérieurs à $y$ est de $[1-F(y)]^n$ . Par conséquent, la probabilité initiale est $P(Y \leq y) = 1-[1-F(y)]^n$ .

Exemple : dites , puis intuitivement, la probabilité doit être égale à 1 (la valeur minimale étant toujours inférieure à 1 puisque pour tout ). Dans ce cas, , la probabilité est toujours égale à 1.$X_i \sim \text{Uniform} (0,1)$$\min(X_1\dots X_n)\leq 1$$0\leq X_i\leq 1$$i$$F(1)=1$

Rob Hyndman a donné la réponse simple et exacte pour un n fixe. Si le comportement asymptotique pour le grand n vous intéresse, cela est traité dans le domaine de la théorie des valeurs extrêmes . Il existe une petite famille de distributions limitantes possibles; voir par exemple les premiers chapitres de ce livre .

Je pense que la réponse 1- (1-F (x)) ^ n est correcte dans des cas particuliers. Les cas particuliers sont conditionnés par le fait que pmf de va est basé sur une formule pour le domaine de va S'il diffère dans diverses parties du domaine ci-dessus, la formule mentionnée s'écarte un peu des résultats de la simulation réelle.