Soit une séquence de variables aléatoires iid . Définissez et pour . Trouver la distribution limite de
Ce problème provient d'un livre de problèmes sur la théorie des probabilités, dans le chapitre sur le théorème de la limite centrale.
Puisque et sont indépendants, et
Notez que les sont clairement pas indépendants. Le problème vient des problèmes de probabilités de Shiryaev , qui est lui-même basé sur le manuel du même auteur. Le manuel ne semble pas couvrir le CLT pour les variables corrélées. Je ne sais pas s'il y a une séquence de mixage stationnaire qui se cache quelque part ...
J'ai exécuté des simulations pour avoir une idée de la réponse
import numpy as np
import scipy as sc
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt
n = 20000 #summation index
m = 2000 #number of samples
X = np.random.normal(size=(m,n))
sums = np.cumsum(X, axis=1)
sums = np.delete(sums, -1, 1)
prods = np.delete(X**2-1, 0, 1)*np.abs(sums)
samples = 1/n*np.sum(prods, axis=1)
plt.hist(samples, bins=100, density=True)
x = np.linspace(-6, 6, 100)
plt.plot(x, stats.norm.pdf(x, 0, 1/np.sqrt(2*np.pi)))
plt.show()
Vous trouverez ci-dessous un histogramme de échantillons ( ). Il semble assez distribué normalement ...
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Réponses:
Lorsque je simule la distribution, j'obtiens quelque chose qui ressemble à une distribution Laplace. Encore mieux semble être un q-Gausian (les paramètres exacts que vous devriez trouver en utilisant la théorie).
Je suppose que votre livre doit contenir une variation du CLT qui se rapporte à cela (théorème de la limite centrale généralisée q, c'est probablement dans la section 7.6 Le théorème de la limite centrale pour les sommes des variables dépendantes , mais je ne peux pas le chercher car je n'ont pas le livre à disposition).
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