Distribution normale

Il y a un problème de statistiques, je n'ai malheureusement aucune idée par où commencer (j'étudie par moi-même donc il n'y a personne à qui je puisse demander, si je ne comprends pas quelque chose.

La question est

iid N ( a , b 2 ) ; a = 0 ; b 2 = 6 ; v a r ( X 2 + Y 2 ) = $X,Y$$N(a,b^2); a=0; b^2=6; var(X^2+Y^2)=?$

Puisque vous traitez avec des données normales IID, il vaut la peine votre problème un peu généralisant à regarder le cas où vous avez et vous voulez Q n ≡ V ( ∑ n i = 1 X 2 i ) . (Votre question correspond au cas où n = 2. ) Comme d'autres utilisateurs l'ont souligné, la somme des carrés des variables aléatoires normales IID est un chi carré non central à l' échelle$X_1, ..., X_n \sim \text{IID N}(a, b^2)$$Q_n \equiv \mathbb{V}(\sum_{i=1}^n X_i^2)$$n=2$variable aléatoire, et donc la variance d'intérêt peut être obtenue à partir de la connaissance de cette distribution. Cependant, il est également possible d'obtenir la variance requise en utilisant des règles de moment ordinaires, combinées à la connaissance des moments de la distribution normale . Je vais vous montrer comment procéder ci-dessous, par étapes.

Trouver la variance en utilisant des moments de la distribution normale: Puisque les valeurs sont IID (et en prenant X pour une valeur générique de cette distribution) vous avez: Q n ≡ V ( n ∑ i = 1 X 2 $X_1, ..., X_n$$X$ où nous désignons les moments bruts commeμ ′ k ≡E(Xk). Ces moments bruts peuvent être écrits en termes des moments centrauxμk≡E((X-E(X))k)et de la moyenneμ ′ 1 =E(

$$\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= \sum_{i=1}^n \mathbb{V}(X_i^2) \\[6pt]&= n\mathbb{V}(X^2) \\[6pt]&= n(\mathbb{E}(X^4) - \mathbb{E}(X^2)^2) \\[6pt]&= n(\mu_4' - \mu_2'^2), \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ $\mu_k' \equiv \mathbb{E}(X^k)$$\mu_k \equiv \mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^k)$ utilisantdes formules de conversion standard$\mu_1' = \mathbb{E}(X)$, et nous pouvons alors rechercher les moments centraux de la distribution normale et les remplacer par.

En utilisant les formules de conversion de moment, vous devriez obtenir: Pour la distributionX∼N(a,b2)nous avons la moyenneμ ′ 1 =aet les moments centraux d'ordre supérieurμ2=b2,μ3=0etμ4b

$$\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= \mu_2 + \mu_1'^2, \\[6pt]\mu_3' &= \mu_3 + 3 \mu_1' \mu_2 + \mu_1'^3, \\[6pt]\mu_4' &= \mu_4 + 4 \mu_1' \mu_3 + 6 \mu_1'^2 \mu_2 + \mu_1'^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ $X \sim \text{N}(a,b^2)$$\mu_1' = a$$\mu_2 = b^2$$\mu_3 = 0$$\mu_4 = 3 b^4$. Cela nous donne les moments bruts: $$\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= b^2 + a^2, \\[6pt]\mu_3' &= 3 a b^2 + a^3, \\[6pt]\mu_4' &= 3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ Maintenant, essayez de les replacer dans l'expression originale pour trouver la variance qui vous intéresse.

La substitution dans la première expression donne:

$$\begin{equation} \begin{aligned}Q_n &= n(\mu_4' - \mu_2'^2) \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^2 + a^2)^2] \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^4 + 2 a^2 b^2 + a^4)] \\[6pt]&= n[2 b^4 + 4 a^2 b^2] \\[6pt]&= 2nb^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ $n=2$$Q_2 = 4b^2 (b^2 + 2a^2)$

$X_i / b \sim \text{N}(a/b, 1)$

$$\sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \sim \text{Non-central Chi-Sq}\Big( k=n, \lambda= \frac{n a^2}{b^2} \Big).$$ $$\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= b^4 \cdot \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \Big) \\[6pt]&= b^4 \cdot 2(k+2 \lambda) \\[6pt]&= 2 b^4 \Big( n + 2 \frac{na^2}{b^2} \Big) \\[6pt]&= 2 n b^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$

$X$$Y$$\text{N} (a, b^2)$$\left( \frac{X - a}{b} \right)^2 + \left( \frac{Y - a}{b} \right)^2$$\chi ^2(2)$

Pensez-vous pouvoir le prendre à partir de là?

La réponse est dans la distribution non centrale du chi carré .

$2(k + 2(a^2))$$k=2$$X$$Y$