Je travaille sur le problème suivant:
Soit et des variables aléatoires indépendantes de densité commune où . Soit U = \ min (X, Y) et V = \ max (X, Y) . Trouvez la densité conjointe de (U, V) et donc trouver le pdf de U + V .
Comme , je peux simplement trouver le pdf de pour voir ce que le pdf de devrait être.
J'obtiens le pdf de pour être
Je ne sais pas si cette intégrale peut être simplifiée.
Pour revenir à la question, le pdf commun de est donné par
Je fait un changement de variables où et . La valeur absolue du jacobien est l'unité. De plus, . Le pdf si marginal de est
Il est possible que j'ai commis une erreur dans les supports appropriés des variables aléatoires. Il est également possible que l'intégrale n'ait pas de solution en termes de fonctions élémentaires. En tout cas, je ne pouvais pas procéder à l'intégrale. Donc , je ne pouvais même pas vérifier que a le même pdf que . Il semble que je reçois différentes distributions de et . Et par curiosité, la distribution de a-t-elle un nom (auquel cas j'aurais cherché la convolution de deux de ces variables aléatoires)?
Éditer.
Procéder à la dernière intégrale que je reçois à la main
Cela implique que
Que ce ne soit pas une densité dans la plage donnée de est facilement visible. J'ai donc l'impression d'avoir fait une grosse erreur quelque part. J'ai vérifié mes calculs avec Mathematica et ils semblent d'accord.
Réponses:
Depuis nous avons ( , nouveau par un changement de variable
Maintenant, comme indiqué dans la question, par un changement d'échelle, ce qui impliquerait que la distribution d'intérêt a la densité qui le transforme en une distribution Beta redimensionnée sur , donc avec une densité
À part: Plus généralement, une somme de variables Beta n'est pas une autre variable Beta, l '"explication" étant simple quand on regarde Betas comme deux Gammas normalisés par leur somme. L'ajout de deux Betas permet de voir des sommes différentes dans le dénominateur.
Le problème est donc avec la dérivation de la densité de : puisque un changement de variables conduit à et les contraintes d'indicateur sont Par conséquent, en conclusion, savoir (1) et non l'expression proposée (2).W=U+V
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