Normalité asymptotique d'une forme quadratique

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Let un vecteur aléatoire tiré de . Prenons un exemple . Définissez et . Soit \ boldsymbol {\ mu}: = \ mathbb {E} _ {\ mathbf {x} \ sim P} [\ mathbf {x}] et C: = \ mathrm {cov} _ {\ mathbf {x} \ sim P} [\ mathbf {x}, \ mathbf {x}] .xP{xi}i=1ni.i.d.Px¯n:=1ni=1nxiC^:=1ni=1n(xix¯n)(xix¯n)μ:=ExP[x]C:=covxP[x,x]

Par le théorème central limite, supposons que

n(x¯nμ)dN(0,C),

C est une matrice de covariance de rang complet.

Question : Comment puis-je prouver (ou réfuter) que

n(x¯n(C^+γnI)1x¯nμC1μ)dN(0,v2),

pour certains v>0 , et pour certains γn0 tels que limnγn=0 ? Cela semble simple. Mais je ne pouvais pas comprendre exactement comment le montrer. Ce n'est pas une question de devoirs.

Je crois comprendre que la méthode delta nous permettrait de conclure facilement

n(x¯nC1x¯nμC1μ)dN(0,v2),

ou

n(x¯n(C^+γnI)1x¯nμ(C^+γnI)1μ)dN(0,v2).

Ce sont un peu différents de ce que je veux. Remarquez les matrices de covariance dans les deux termes. Je sens que je manque quelque chose de très trivial ici. Alternativement, si cela simplifie les choses, nous pouvons également ignorer c'est-à-dire définir et supposer que est inversible. Merci.γnγn=0C^

wij
la source
2
Nous devons savoir comment passe à 0. Est-ce une séquence de constantes? Je pense que vous devez d'abord montrer qui, je pense, est le résultat de Slutsky. Ensuite, j'écrirais en . a une distribution limite qui peut être trouvée avec la méthode . Enfin, vous pouvez essayer de montrer que va à 0 en probabilité. Même si je ne sais pas si cela tient ...γnx¯nTγnIx¯np0C^C+bias(C^)x¯nTCx¯nδx¯nTbias(C^)x¯n
AdamO
γn est une séquence de constantes (non aléatoire). La séquence peut être définie sur tout ce qui fait fonctionner la convergence (si une telle séquence existe). Je pense que est vrai. Je n'ai pas compris pourquoi nous en avions d'abord besoin. Mais laissez-moi y penser et le reste plus. :)x¯nIx¯np0
wij
2
Je n'ai pas mentionné: votre hésitation à appliquer directement la méthode et à l'appeler est bien justifiée. Je pense que vous pouvez l'écrire attentivement. Les théorèmes utiles pour ces types de preuves sont ceux de Slutsky, le théorème de cartographie continue de Mann-Wald et le théorème de Cramer-Wold. δ
AdamO
Je suis d'accord que les résultats que vous mentionnez pourraient être utiles. Je ne vois toujours pas comment. En fait, je commence aussi à penser que la distribution asymptotique peut ne pas être une distribution normale.
wij
Il semble que ce soit plus compliqué qu'il n'y paraît. Le papier arXiv décrit ici ce qui se passe en haute dimension. Je ne trouve pas d'analogue à dimension fixe, mais ils ont un argument de dimension finie dans la section 3.
Greenparker

Réponses:

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Il existe certaines difficultés lors de l'utilisation de la méthode Delta. Il est plus pratique de le dériver à la main.

Selon la loi du grand nombre, . Par conséquent . Appliquez le théorème de Slutsky, nous avons Par théorème de mappage continu, nous avons D'où Selon le théorème de Slutsky, nous avons Combiner les deux rendements d'égalité ci-dessus C^PCC^+γnIPC

n(C^+γnI)1/2(X¯μ)dN(0,C1).
n(X¯μ)T(C^+γnI)1(X¯μ)di=1pλi1(C)χ12.
n(X¯μ)T(C^+γnI)1(X¯μ)P0.
nμT(C^+γnI)1(X¯μ)dN(0,μTC2μ).
n(X¯T(C^+γnI)1X¯μT(C^+γnI)1μ)=n((X¯μ)T(C^+γnI)1(X¯μ)2μT(C^+γnI)1(X¯μ))=2nμT(C^+γnI)1(X¯μ)+oP(1)dN(0,4μTC2μ).
La tâche restante consiste à traiter Malheureusement, ce terme dose NE converge PAS vers . Le comportement se complique et dépend des troisième et quatrième moments.
n(μT(C^+γnI)1μμT(C)1μ).
0

Pour être simple, nous supposons ci-dessous que sont distribués normalement et . C'est un résultat standard qui où est une matrice aléatoire symétrique avec des éléments diagonaux comme et les éléments hors diagonale comme . Ainsi, par expantion de matrice taylor , nous avons Xiγn=o(n1/2)

n(C^C)dC1/2WC1/2,
WN(0,2)N(0,1)
n(C^+γnIC)dC1/2WC1/2,
(I+A)1IA+A2
n((C^+γnI)1C1)=nC1/2((C1/2(C^+γnI)C1/2)1I)C1/2=nC1(C^+γnIC)C1+OP(n1/2)dC1/2WC1/2.
Ainsi,
n(μT(C^+γnI)1μμT(C)1μ)dμTC1/2WC1/2μN(0,(μTC1μ)2).

Ainsi,

n(X¯T(C^+γnI)1X¯μTC1μ)dN(0,4μTC2μ+(μTC1μ)2).
kfeng123
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1
Merci pour votre réponse. C'est exactement ce terme qui ne converge pas vers 0 qui rend le tout difficile. Malheureusement, je ne peux pas supposer que est normalement distribué. Mais j'apprécie toujours la réponse. Si vous pouviez dire comment cela dépend des troisième et quatrième moments (peut-être avec des références), ce serait utile. Je ne peux pas non plus expliquer pour le moment. Mais je pense que doit se désintégrer plus lentement que . Je dois réfléchir plus attentivement à la raison. Xigammano(n1/2)
wij
J'ai oublié d'ajouter que dans mon cas, peut être supposé vivre dans un ensemble compact (si nécessaire). Cela pourrait aider avec les conditions du moment. Xi
wij