Si le test t et l'ANOVA de deux groupes sont équivalents, pourquoi leurs hypothèses ne sont-elles pas équivalentes?

Je suis sûr que je suis complètement enroulé autour de ma tête, mais je n'arrive pas à comprendre.

Le test t compare deux distributions normales utilisant la distribution Z. C'est pourquoi il y a une hypothèse de normalité dans les DONNÉES.

L'ANOVA équivaut à une régression linéaire avec des variables nominales et utilise la somme de carrés, comme pour MLS. C'est pourquoi on suppose une normalité de RESIDUALS.

Cela m'a pris plusieurs années, mais je pense avoir enfin compris ces faits fondamentaux. Alors, pourquoi le test t est-il équivalent à une ANOVA à deux groupes? Comment peuvent-ils être équivalents s'ils ne supposent même pas les mêmes choses à propos des données?

Le test t avec deux groupes suppose que chaque groupe est normalement distribué avec la même variance (bien que les moyennes puissent différer selon l'hypothèse alternative). Cela équivaut à une régression avec une variable muette, car elle permet à la moyenne de chaque groupe de différer, mais pas à la variance. Par conséquent, les résidus (égaux aux données avec les groupes moyens soustraits) ont la même distribution - c'est-à-dire qu'ils sont normalement distribués avec une moyenne nulle.

Un test t avec des variances inégales n'équivaut pas à une ANOVA à un facteur.

Le test t est simplement un cas spécial du test F, dans lequel seuls deux groupes sont comparés. Le résultat de l'un ou de l'autre sera exactement le même en termes de p-valeur et il existe également une relation simple entre les statistiques F et t. F = t ^ 2. Les deux tests sont algébriquement équivalents et leurs hypothèses sont les mêmes.

En fait, ces équivalences s’appliquent à toute la classe des ANOVA, tests t et modèles de régression linéaire. Le test t est un cas particulier d’ANOVA. L'ANOVA est un cas particulier de régression. Toutes ces procédures sont incluses dans le modèle linéaire général et partagent les mêmes hypothèses.

1. Indépendance des observations.
2. Normalité des résidus = normalité dans chaque groupe dans le cas particulier.
3. Égalité des variances des résidus = variations égales entre les groupes dans le cas particulier.

Vous pouvez penser à cela comme une normalité dans les données, mais vous vérifiez la normalité dans chaque groupe - ce qui revient en fait à vérifier la normalité dans les résidus lorsque le seul prédicteur du modèle est un indicateur de groupe. De même avec des variances égales.

En passant, R n'a pas de routine distincte pour l'ANOVA. Les fonctions anova de R ne sont que des enveloppes de la fonction lm () - la même chose utilisée pour les modèles de régression linéaire - présentées de manière légèrement différente pour fournir ce que l’on trouve généralement dans un résumé ANOVA plutôt qu’un résumé de régression.

Je suis tout à fait d'accord avec la réponse de Rob, mais permettez-moi de l'exprimer autrement (avec wikipedia):

Hypothèses ANOVA :

• Indépendance des cas - il s'agit d'une hypothèse du modèle qui simplifie l'analyse statistique.
• Normalité - les distributions des résidus sont normales.
• Égalité (ou "homogénéité") des variances, appelée homoscédasticité

Hypothèses t-test :

• Chacune des deux populations comparées devrait suivre une distribution normale ...
• ... les deux populations comparées devraient avoir la même variance ...
• Les données utilisées pour effectuer le test doivent être échantillonnées indépendamment des deux populations comparées.

Par conséquent, je réfuterais la question, car ils ont évidemment les mêmes hypothèses (bien que dans un ordre différent :-)).

Un point évident que tout le monde a négligé: avec ANOVA, vous testez à zéro que la moyenne est identique quelles que soient les valeurs de vos variables explicatives. Avec un test T, vous pouvez également tester le cas unilatéral, à savoir que la moyenne est spécifiquement supérieure à une valeur de votre variable explicative à l'autre.

Je préférerai utiliser le test t pour comparer deux groupes et utiliserai l'ANOVA pour plus de 2 groupes, pour des raisons particulières. La raison importante étant l'hypothèse d'égale variance.