Que se passe-t-il si les résidus sont normalement distribués, mais que y ne le soit pas?

J'ai une question étrange. Supposons que vous avez un petit échantillon dans lequel la variable dépendante que vous allez analyser avec un modèle linéaire simple est fortement asymétrique. Ainsi , on suppose que est normalement distribué, car cela entraînerait une distribution normale y . Mais lorsque vous calculez le graphe QQ-Normal, il est évident que les résidus sont normalement distribués. Ainsi, n'importe qui peut supposer que le terme d'erreur est normalement distribué, bien que y ne le soit pas. Alors , qu'est-ce que cela signifie, lorsque le terme d'erreur semble être normalement distribué, mais y ne fonctionne pas?$u$$y$$y$$y$

$y \sim \mathcal{N}(\beta x, \sigma^2)$$\beta=1$$y$$x$$y$$x$$x$$x$$y$$x$$y$$x$

$Y$$X$

$\beta_0$$\beta_1$

$Y$

$Y$$Y$

$Y$$X$$p<.05$$\beta_1$

set.seed(123456789)                       # this make the simulation repeatable

b0 = 160;   b1 = -1;   b1_null = 0        # these are the true beta values
x  = rep(c(0, 20, 40), each=100)          # the (non-normal) drug dosages patients get

estimated.b1s  = vector(length=10000)     # these will store the simulation's results
estimated.b1ns = vector(length=10000)
null.p.values  = vector(length=10000)

for(i in 1:10000){
  residuals = rnorm(300, mean=0, sd=3)
  y.works = b0 + b1*x      + residuals
  y.null  = b0 + b1_null*x + residuals    # everything is identical except b1

  model.works = lm(y.works~x)
  model.null  = lm(y.null~x)
  estimated.b1s[i]  = coef(model.works)[2]
  estimated.b1ns[i] = coef(model.null)[2]
  null.p.values[i]  = summary(model.null)$coefficients[2,4]
}
mean(estimated.b1s)       # the sampling distributions are centered on the true values
[1] -1.000084                  
mean(estimated.b1ns)
[1] -8.43504e-05               
mean(null.p.values<.05)   # when the null is true, p<.05 5% of the time
[1] 0.0532                   

Ces résultats montrent que tout se passe bien.

$X$ $Y$$X$

$X$$Y$$X$