Référence pour ?

Dans sa réponse à ma question précédente, @Erik P. donne l'expression où est l' excès de kurtosis de la distribution. Une référence à l'entrée Wikipedia sur la distribution de la variance de l'échantillon est donnée, mais la page wikipedia dit "la citation nécessaire".

Ma question principale est, existe-t-il une référence pour cette formule? Est-il «trivial» de dériver, et si oui, peut-on le trouver dans un manuel? (@Erik P. n'a pas pu le trouver dans Statistiques statistiques et analyse des données, ni dans Inference statistique par Casella et Berger . Même si le sujet est couvert.

Ce serait bien d'avoir une référence de manuel, mais encore plus utile d'avoir une (la) référence principale.

(Une question connexe est: quelle est la distribution de la variance d'un échantillon d'une distribution inconnue? )

Mise à jour : @cardinal a souligné une autre équation sur math.SE : où est le quatrième moment central.

Y a-t-il un moyen de réorganiser les équations et de résoudre les deux, ou l'équation dans le titre est-elle incorrecte?

Source: Introduction à la théorie de la statistique , Mood, Graybill, Boes, 3e édition, 1974, p. 229.

Dérivation: notez que dans le lien Wikipedia du PO, n'est pas le kurtosis mais l' excès de kurtosis, qui est le kurtosis "régulier" - 3. Pour revenir au kurtosis "régulier", nous devons ajouter 3 à l'endroit approprié dans la formule Wikipedia.$\kappa$

Nous avons, du MGB:

$\text{Var}[S^2] = {1\over{n}}(\mu_4 - {{n-3}\over{n-1}}\sigma^4)$

qui, en utilisant l'identité , peut être arrangé pour (dériver le mien, donc toutes les erreurs sont aussi):$\mu_4 = (\kappa + 3)\sigma^4$

$= {1\over{n}}(\kappa \sigma^4 + {{n-1}\over{n-1}}3\sigma^4 -{{n-3}\over{n-1}}\sigma^4) = \sigma^4\left({\kappa \over{n}}+{3(n-1)-(n-3)\over{n(n-1)}}\right) = \sigma^4\left({\kappa\over{n}} + {{2}\over{n-1}}\right)$

On ne sait pas si cela répondra à vos besoins de référence définitive, mais cette question revient dans les exercices de Casella et Berger:

(page 364, exercice 7.45 b):

En référence à l'exercice 5b qui fournit une autre variante, dans laquelle et sont les deuxième et quatrième moments ( et ), respectivement:Θ 4 σ 2$\Theta_2$$\Theta_4$$\sigma^2$$\kappa$

Celles-ci sont équivalentes à l'équation donnée dans une réponse sur math.SE :

$\mbox{Var}(S^2)={\mu_4\over n}-{\sigma^4\,(n-3)\over n\,(n-1)}$