Demander la vérification d'un résultat matriciel simple

Supposons que est un vecteur de variables aléatoires. Veuillez ensuite vérifier que .$X$$k\times 1$$EX^{\prime}(EXX^{\prime})^{-1}EX\leq 1$

Lorsque c'est un résultat bien connu que . Mais comment le revendiquer en général?$K=1$$(EX)^{2}\leq EX^{2}$

Laissez et . Ensuite, nous devons montrer $\mu = EX$$\Sigma = E(XX^T) - \mu\mu^T$

$$\mu^T (\Sigma + \mu\mu^T)^{-1}\mu \leq 1.$$

Soit de telle sorte que . En utilisant le lemme déterminant de la matrice et l'existence de nous pouvons voir que existe exactement quand . Si nous avons terminé, donc WLOG nous supposons .$C = E(XX^T)$$\Sigma = C - \mu\mu^T$$C^{-1}$$\Sigma^{-1}$$\mu^T C^{-1}\mu\neq 1$$\mu^T C^{-1} \mu = 1$$\mu^T C^{-1}\mu\neq 1$

Ensuite, par la formule de Sherman-Morrison , nous avons puisque est PSD donc .

$$\mu^T (\Sigma + \mu\mu^T)^{-1}\mu = \mu^T \Sigma^{-1}\mu - \mu^T \left(\frac{\Sigma^{-1}\mu\mu^T\Sigma^{-1}}{1 + \mu^T \Sigma^{-1}\mu}\right)\mu = c - \frac{c^2}{1+c} = \frac{c}{1+c} < 1$$ $\Sigma^{-1}$$c \geq 0$