Attente de

Soit , , , et être indépendant. Quelle est l'attente de ?$X_1$$X_2$$\cdots$$X_d \sim \mathcal{N}(0, 1)$$\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}$

Il est facile de trouver par symétrie. Mais je ne sais pas comment trouver l'attente de . Pourriez-vous s'il vous plaît fournir quelques conseils?$\mathbb{E}\left(\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}\right) = \frac{1}{d}$$\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}$

Ce que j'ai obtenu jusqu'à présent

Je voulais trouver par symétrie. Mais ce cas est différent de celui de car peut ne pas être égal à . J'ai donc besoin d'autres idées pour trouver l'attente.$\mathbb{E}\left(\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$$\mathbb{E}\left(\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}\right)$$\mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$$\mathbb{E}\left(\frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$

D'où vient cette question

Une question en échange de pile mathématique demande la variance de pour un vecteur aléatoire uniforme x sur S ^ {d-1} . Ma dérivation montre que la réponse dépend fortement des valeurs de \ mathbb {E} \ left (\ frac {X_i ^ 4} {(X_1 ^ 2 + \ cdots + X_d ^ 2) ^ 2} \ right) et \ mathbb { E} \ left (\ frac {X_i ^ 2X_j ^ 2} {(X_1 ^ 2 + \ cdots + X_d ^ 2) ^ 2} \ right) pour i \ neq j . Depuis \ sum_ {i \ neq j} \ mathbb {E} \ left (\ frac {X_i ^ 2X_j ^ 2} {(X_1 ^ 2 + \ cdots + X_d ^ 2) ^ 2} \ right) + \ sum_i \ mathbb {E} \ left (\ frac {X_i ^ 4} {(X_1 ^ 2 + \ cdots + X_d ^ 2) ^ 2} \ right) = 1 et par symétrie, nous n'avons besoin que de connaître la valeur de$\|Ax\|_2^2$$x$$S^{d-1}$$\mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$$\mathbb{E}\left(\frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$$i \neq j$

$$\sum_{i \neq j}\mathbb{E} \left( \frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) + \sum_i \mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) = 1$$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ pour obtenir d'autres attentes.

La distribution de $X_i^2$ est khi carré (et aussi un cas particulier de gamma).

La distribution de est donc bêta.$\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}$

L'attente du carré d'une bêta n'est pas difficile.

Cette réponse élargit la réponse de @ Glen_b.

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Fait 1: Si , , , sont des variables aléatoires de distribution normale standard indépendantes, alors la somme de leurs carrés a la distribution chi carré avec degrés de liberté. En d'autres termes, $X_1$$X_2$$\cdots$$X_n$$n$

$$X_1^2 + \cdots + X_n^2 \sim \chi^2(n)$$

Par conséquent, et .$X_1^2 \sim \chi^2(1)$$X_2^2 + \cdots + X_d^2 \sim \chi^2(d-1)$

Fait 2: Si et , alors $X \sim \chi^2(\lambda_1)$$Y \sim \chi^2(\lambda_2)$

$$\frac{X}{X + Y} \sim \texttt{beta}(\frac{\lambda_1}{2}, \frac{\lambda_2}{2})$$

Par conséquent, .$Y = \frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2} \sim \texttt{beta}(\frac{1}{2}, \frac{d-1}{2})$

Fait 3: Si , alors et $X \sim \texttt{beta}(\alpha, \beta)$

$$\mathbb{E}(X) = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}$$ $$\mathbb{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^2(\alpha + \beta + 1)}$$

Par conséquent, et

$$\mathbb{E}(Y) = \frac{1}{d}$$ $$\mathbb{Var}(Y) = \frac{2(d-1)}{d^2(d+2)}$$

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Enfin,

$$\mathbb{E}(Y^2) = \mathbb{Var}(Y) + \mathbb{E}(Y)^2 = \frac{3d}{d^2(d+2)}.$$